05: Vícerozměrná pole a maticové typy

Tento notebook je výukovým materiálem v předmětu BI-JUL.21 vyučovaném v zimním semestru akademického roku 2025/2026 Tomášem Kalvodou. Tvorba těchto materiálů byla podpořena NVS FIT.

Hlavní stránkou předmětu, kde jsou i další notebooky a zajímavé informace, je jeho Course Pages stránka.

1. Vícerozměrná pole (Array)

Vícerozměrné pole si lze představovat jako "kolekci" objektů uložených ve vícerozměrné mřížce (matice/tabulka, kvádr,...).

I pole mají svůj parametrický typ, který určuje jaké objekty dokáží uchovávat a jaký mají rozměr.

Nejobecnějším případem je přirozeně Array{Any}, resp. Array{Any, n}, kde $n$ označuje dimenzionalitu (rozměry) pole. Pole těchto typů pojmou libovolné objekty, tj. objekty typu Any. Obecně objekty typu Array{T} představují vícerozměrná pole s prvky typu T.

Jak už bylo zmíněno v třetí lekci, k prvkům, nebo částem, pole přistupujeme pomocí hranatých závorek. Nejrpve se ale pusťme do konstrukce prvních polí, aby pak bylo co indexovat.

1.1 Vytváření a indexování polí

Neinicializované pole s rozměry dims a prvky typu T vytvoříme pomocí příkazu Array{T}(undef, dims...). dims může být tuple, nebo popořadě velikosti jednotlivých "dimenzí". Ukažme si to na příkladech:

Ihned poznamenejme, že Vector{T} jen šikovná zkratka pro jednodimenzionální pole s prvky typu T.

Nyní se přesuňme k dvojrozměrným polím.

Podobně jako výše, Matrix{T} je pouze konvenční krycí název pro dvourozměrné pole.

Od tří dimenzí dále už výpis pole samozřejmě není úplně přehledný, je ale možný.

Tato pole nejsou inicializována, jejich hodnoty jsou "náhodné", podle toho co zbylo na místě původní paměti. Vzhledem k explicitnímu zmínění slovíčka undef v předchozích příkazech by se mohlo zdát, že můžeme prvky polí tímto způsobem předvyplnit požadovanou hodnotou, ale není tomu tak:

Viz metodu fill níže.

Vytváření polí s požadovanými prvky (Maticové literály)

Jednorozměrná (vektory) a dvourozměrná (matice) pole můžeme zadat explicitně pomocí hranatých závorek, před kterými můžeme případně uvést požadovaný typ prvků. K oddělení prvků máme bohaté možnosti: používáme čárky (,), mezery, konce řádků, nebo středníky (;). Tímto způsobem můžeme kontrolovat rozměry pole.

Ale pozor, následující pole je už dvourozměrné:

Dvourozměrná pole zadáváme po řádcích oddělených středníky, nebo koncemi řádků:

Pozor, čárky neprojdou.

Tento způsob se samozřejmě hodí jen pro malá pole. Častěji potřebujeme pracovat například s maticemi s velkým počtem prvků a takovéto explicitní vypisování by bylo komplikované. Typicky třeba známe předpis pro $ij$-tý prvek. Pak můžeme použít analog Pythonovského list comprehension.

Například Float64 5x5 verzi Hilbertovy matice, které má na $ij$-tém políčku hodnotu $\frac{1}{i+j-1}$ můžeme definovat takto:

Zde první index je řádkový a druhý sloupcový, jak bude patrné z následujícího příkladu

Před hranatou závorkou můžeme opět vynutit typ prvků:

Dejte pozor na ne/přítomnost hranatých závorek, například následující buňka nevyústí v matici:

Lze přidávat i podmínky jako v Pythonu:

Indexování polí

Prvky pole jsou standardně indexovány od $1$. K prvkům pole přistupujeme pomocí hranatých závorek. K indexování můžeme použít i rozsah (range) a získat tak část pole (slice, řez). Stejným způsobem můžeme prvky, nebo celé bloky matice, modifikovat pomocí přiřazení. Ukažme si to na následující Töplitzově matici (konstantní hodnoty na diagonále i všech vedlejších diagonálách):

Hodnoty v rozích matice:

Změníme hodnotu v pravo nahoře:

2x3 podmatice v levém horním rohu:

Změna 2x2 bloku vpravo dole na jednotkovou matici 2x2:

Pokud chceme celý řádek/sloupec, pak pro tyto účely můžeme použít pouze :. Rozsah "až do konce" můžeme vyjádřit pomocí end:

Nyní probereme metody, které se hodí při vytváření nových "obecných" polí. V případě matic máme více možností, kterým se budeme věnovat v příslušné lekci.

Konkatenace polí (vcat a hcat)

V metamatickém zápisu často používáme blokový zápis matic. Jeho analogem je konkatenace.

Mějme tři pole:

Pokud má operace rozměrově smysl, můžeme pole spojovat horizontálně:

Nebo vertikálně:

A oba přístupy lze dohromady i kombinovat právě v něčem, co připomíná blokový zápis:

push! a pop!

Do jednorozměrného pole lze přidávat prvky pomocí push! a ubírat je pomocí pop! (odzadu):

Dále máme i metodu append!, která ale spojuje více jednorzměrných polí dohromady.

Existují i další související metody jako pushfirst!, popfirst!, popat!, insert! a další.

fill a fill!

K uniformní inicializaci prvků pole slouží dvě metody:

• fill(x, dims...): vytvoří nové pole s prvky x a rozměry dims.
• fill!(A, x): zaplní již existující pole A prvky x

zeros a ones

Často chceme předvyplnit matice jedničkami, nebo nulami. Přesně k tomuto účelu slouží metody zeros(T, dims...) a ones(T, dims...). První argument, tedy typ, je nepovinný, výchozí hodnota je Float.

Kdybychom chtěli stejné matice, ovšem s Int64 prvky, stačí tento požadavek explicitně zmínit:

Pro vytvoření pouze nuly nebo jedničky v daném typu slouží analogické metody zero a one.

Ale viz I v další lekci.

copy a deepcopy

Tyto metody asi nepotřebují vysvětlení. Vytvoří kopii, resp. hlubokou kopii, daného pole. Názorná ukázka:

rand a randn

Náhodně generovaným hodnotám, resp. pravděpodobnosti a statistice, se budeme podrobně věnovat později během semestru. Zde si zmíníme jenom dvě metody pro vytváření "náhodných" matic.

První z nich, rand(T, dims...) vytvoří pole dimenzí dims s prvky typu T rovnoměrně rozloženými (u podtypů AbstractFloat v intervalu $[0, 1)$), první typový argument je opět nepovinný a jeho výchozí hodnota je Float64.

Příkaz randn(T, dims...) se od předchozího liší tím, že generuje prvky podle normálního rozdělení (se střední hodnotou $0$ a standardní odchylkou $1$, má dobrý smysl jen pro podtypy AbstractFloat).

Následující pokus přirozeně skončí nezdarem:

Pokud rand předáme pole, pak náhodně vybere jeden jeho prvek:

To by jako exkurze do světa náhody pro tento okamžik stačilo. Podrobněji se do něj vrátíme hned příště.

range

Pro vytváření jednorozměrných polí se často hodí metoda range(start; stop=stop, length=n), pomocí níž lze vytvořit pole s rovnoměrně rozmístěnými prvky:

Další užitečné metody

Pro práci s poli se mohou hodit následující metody:

• eltype(A): typ prvků pole
• length(A): počet prvků pole
• ndims(A): počet rozměrů ("dimenzí") pole
• size(A): tuple s velikostí jednotlivých rozměrů pole
• size(A, n): velikost $n$tého rozměru pole
• axes(A): tuple s hodnotami indexů v jednotlivých rozměrech (o přeindexování polí později)

Ukázka:

Vlastní implementace:

Tj. nemusíme dělat ošklivé:

N.B.:

1.2 Cvičení

1. Vytvořte matici A rozměru $10 \times 10$ mající na antidiagonálách postupně konstanty $1$, $2$, $3$,..., $19$.
2. Vytvořte matici B rozměru $5 \times 10$, která má všechny prvky nulové, pouze na "okraji" (obdélník) má jedničky.
3. Vytvořte čtvercovou matici C rozměru $20 \times 20$, která je složena ze čtyř stejně velkých bloků: vlevo nahoře je blok náhodně vygenerovaných strojových čísel, vpravo nahoře matice naplněná jedničkami, vlevo dole nulová matice a vpravo dole diagonální matice s počátečními ciframi čísla $\pi$ na diagonále.
4. Vytvořte čtvercovou matici D rozměru $10 \times 10$, která bude v levém horním trojúhelníku mít Pascalův trojúhelník. Prvky vypočtete Pascalovou "konstrukcí", ne počítáním kombinačních čísel.

2. Operace s poli/maticemi a jejich prvky

S poli a jejich prvky lze provádět celou řadu nejen matematických operací. Většinou jsme motivování operacemi s vektory a maticemi (na rozdíl od jiných programovacích jazyků).

2.1 Sčítání + a odčítání -

Pole lze přirozeně po složkách sčítat (+), odčítat (-). Tyto operátory fungují jak unárně, tak binárně. Pole musí být stejného rozměru.

Součet a rozdíl po složkách, pokud si odpovídají rozměry:

"Opačná matice":

Chování vůči typům:

Násobení *

Hvězdička má význam "násobení" a to má více významů. Pole můžeme násobit číslem (skalárem), hvězdičku v tomto případě lze i vynechat:

Dále má hvězdička význam maticového násobení v pravém slova smyslu, tj. matice musí být správného rozměru:

Inverze inv

Maticovou inverzi lze počítat pouze pro regulární matice.

Vidíte, že je-li typem prvků matice integer, výsledkem bude matice strojových čísel. Podobné chování jsme už viděli i u obyčejného dělení. I pro jednotkovou matici, kde k popsání inverze strojová čísla potřeba nejsou, k tomuto efektu dojde:

Invertovat ale můžeme i přímo v aritmetice racionálních čísel.

Zpět k příklad výše.

Dělení /, resp. \

Přesněji, mezi maticovými operandy jde o násobení maticovou inverzí zprava, resp. zleva.

Umocňování ^

Matice lze umocňovat na celočíselné exponenty, se standardními omezeními.

Provádění operací po složkách pomocí . (broadcasting)

Binární operace i metody lze provádět a aplikovat po složkách, resp. na prvcích matice, pomocí symbolu ..

Například můžeme vynásobit odpovídající si prvky obdélníkové matice (které by v pravém slova smyslu maticově násobit nešlo):

Operand ani nemusí být maticový:

Můžeme například aplikovat sinus na všechny prvky matice:

Pozor! Následující kód je naprosto v pořádku, většinu elementárních funkcí lze zavést i pro operátory (čtvercové matice):

Tento přístup (broadcasting) funguje i pro funkce mající více či méně argumentů, nebo pro další binární operátory!

Maskování

Porovnáváním (například pomocí <) matic prvek po prvku můžeme vytvořit masku, pomocí které lze poté z matice extrahovat požadované prvky.

V zápisu výše jde v podstatě o infixovou notaci, explicitněji:

Indexováním pomocí takovéto matice Dostaneme pouze prvky se zkoumanou vlastností:

Jeden z operandů opět nutně nemusí být maticový:

Nebo (všimněte si, že nedostaneme matici s Boolean prvky, jak bychom možná očekávali):

Alternativně bychom k podobnému účelu mohli použít metodu filter:

Porovnání rychlosti

Explicitní for loop vs. broadcasting.

Zde vidíme, že Julia má ráda rychlé výpočetní for smyčky, není nutná snaha o vektorizaci, jak je tomu třeba u Pythonu nebo Matlabu (kde pak díky tomu dané operace probíhají rychle mimo Python/Matlab díky C/FORTRAN).

Maskování vs. filter.

Cvičení: Monte Carlo výpočet operátorové normy symetrické matice

Pro reálnou čtvercovou matici $\mathbb{A}$ definujeme její operátorovou normu předpisem $\|\mathbb{A}\| = \sup \big\{ \|\mathbb{A}x\| \mid x \in \mathbb{R}^n, \ \|x\| = 1 \big\}.$ Na pravé straně mají normy význam Euklidovké normy na $\mathbb{R}^n$.

Jinak řečeno, každá hodnota $\| \mathbb{A} x\|$ pro jednotkový vektor $x$ představuje spodní odhad $\|\mathbb{A}\|$.

Implementujte metodu, která se náhodnou volbou různých vektorů snaží dostat co nejlepší odhad této normy.

Zatím nepoužívejme nástroje z LinearAlgebra, vystačíme si se základními nástroji pro práci s poli. Připomeňme, že Euklidovská norma vektoru $x\in\mathbb{R}^n$ je $\sqrt{\sum_{j=1}^n x_j^2}$.

Test náhodného generátoru.

Normy některých matic. Začněme nulovou maticí.

Diagonální matice.

A ještě jedna zajímavá matice:

Pro $n$ rostoucí do nekonečna se norma následujících matic blíží $2$.

Pro rostoucí rozměry by tato hodnota měla konvergovat k $2$.

Cvičení 2.3: Erastothenovo síto

Pomocí maskování (indexování pomocí BitArray) lze elegantně využít k implementaci jednoduchého Erastothenova síta.

Erastothenovo síto nám umožňuje nalézt všechna prvočísla menší nebo rovna zadané mezi (n). Základní verze bez optimalizací je následující

• Jednička není prvočíslo.
• Dalším číslem je dvojka, tedy prvočíslo, zahodíme všechny další násobky dvou.
• Dalším nevyškrtnutým číslem je trojka, tedy prvočíslo, zahodíme všechny další násobky tří.
• Čtyřku jsme už vyškrtli, takže se dostaneme k pětce, prvočíslu, a opět zahodíme všechny další násobky pěti.
• atd.

I. Implementujte metodu erastothenes(n) počítající všechna prvnočísla menší nebo rovna n.

II. Spočtěte všechna prvnočísla menší nebo rovna milion (OEIS:A000040).

III. S pomocí napočtených dat nalezněte všechna prvočíselná dvojčata v uvedeném rozsahu (tj. prvočísla lišící se o $2$; OEIS:A077800). Implementujte metodu, která nalezne všechna dvojčata lišící se o zadané číslo. Tato metoda bude vracet pole tuplů (dvojčat).

Řešení některých příkladů

Možné řešení Erastothenova síta:

Možné řešení twins metody.

Monte Carlo.

Reference

V oficiální dokumentaci je tato problematika shrnuta v kapitole Multi-dimensional Arrays