Pro účely tohoto opakovacího textu budeme pod pojmem „funkce“ chápat následující:
Mějme neprázdnou množinu reálných čísel $A \subset \mathbb{R}$. Reálnou funkcí reálné proměnné (zkráceně funkcí) $f$ rozumíme jednoznačný způsob jak každému číslu $x$ z množiny $A$ přiřadit reálné číslo $f(x)$. Takovouto funkci značíme $f: A \to \mathbb{R}$. Je-li $a \in A$ a přiřazuje-li mu funkce $f$ číslo $b = f(a)$, pak o čísle $a$ mluvíme jako o vzoru čísla $b$ a o $b$ jako o obrazu čísla $a$ vzhledem k funkci $f$. O $f(a)$ také mluvíme jako o funkční hodnotě funkce $f$ v bodě $a$.
Důležitost pojmu funkce asi ani nelze dostatečně zdůraznit. Hned po pojmu „množina“ půjde v našem nadcházejícím studiu o důležitý stavební kámen (ještě důležitější bude obecnější „zobrazení“, ale tím se budeme zabývat v BI-DML). Důvod by měl být nasnadě. Množiny jsou ze své podstaty „statické“ objekty. Jakmile chceme popisovat změnu, dynamické procesy, či jinak manipulovat s prvky množin, přirozeně jsme vedeni ke konceptu funkce.
Uvažme množinu $A = \langle -1,1 \rangle$. Pokusme se zadat funkci $g$ následujícím způsobem: „ke každému $x$ z množiny $A$ přiřaďme reálné $y$ splňující $x^2 + y^2 = 1$“. Je tímto způsobem jednoznačně zadána funkce $g: A \to \mathbb{R}$? Mějme tedy $x \in A$. Ptáme se, je-li $y \in \mathbb{R}$ podmínkou $x^2 + y^2 = 1$ zadáno jednoznačně. Tato podmínka je ekvivalentní rovnosti
Pokud $x \in A$ pak $1 - x^2 \geq 0$ a rovnice (4.1) má proto dvě řešení (pro $x \neq \pm 1$)
Které $y$ si máme vybrat? Toto není jednoznačný způsob přiřazení o kterém se mluví v definici funkce . Způsobem popsaným na začátku tohoto příkladu tedy nelze sestrojit funkci. Musíme zadání lehce upravit.
Uvažme množinu $A = \langle -1,1 \rangle$. Pokusme se zadat funkci $g$ následujícím způsobem: „ke každému $x$ z množiny $A$ přiřaďme nezáporné reálné $y$ splňující $x^2 + y^2 = 1$“. Je tímto způsobem jednoznačně zadána funkce $g: A \to \mathbb{R}$? Ze začátku lze postupovat stejně jako v předchozím příkladu. Ovšem v okamžiku kdy máme vyřešit rovnici (4.1) vzhledem k $y$ pro zadané $x \in A$ si stačí uvědomit, že tato rovnice má v tomto případě právě jedno nezáporné řešení
Toto $y$ je obrazem zadaného $x \in A$. Definice funkce $g$ uvedená na začátku tohoto příkladu je tedy v pořádku a my ji po této úvaze můžeme zapsat explicitněji:
kde definičním oborem této funkce je $D_g = A = \langle -1,1 \rangle$.
Mluvíme-li o funkcích je velmi často potřebné souhrnně mluvit o zobrazovaných objektech a možných funkčních hodnotách.
Mějme funkci $f: A \to \mathbb{R}$ ve smyslu definice 4.1. O množině $A$ mluvíme jako o definičním oboru a značíme ji $D_f$. Množinu
nazýváme oborem hodnot funkce $f$.
Připomeňme význam symbolického zápisu použitého v rovnici (4.2). Množina $H_f$ je tvořena všemi reálnými $b$ pro které existuje $a$ z definičního oboru funkce $f$ splňující $f(a) = b$. Definiční obor funkce $f$ také občas značíme bez indexu, tj. $D(f)$.
Na tomto místě upozorněme na jeden často se u studentů vyskytující omyl. Je-li dána funkce $f: A \to \mathbb{R}$, pak $\mathbb{R}$ nemusí nutně být obor hodnot této funkce $f$. Například funkce $\sin$, o které se budeme bavit dále, je ve smyslu notace z definice 4.1 funkce $\sin: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Její obor hodnot je ovšem množina $H_{\sin} = \langle -1,1 \rangle$. Což jistě není celá reálná osa.
Čtenář je jistě zvyklý zadávat $f(x)$ pomocí explicitního vzorce udávajícího, jaké operace je potřeba s (reálným) číslem $x$ provést, abychom získali jeho obraz $f(x)$. Toto není jediný způsob zadání funkce $f$. Na další způsoby narazíme později během studia. Je-li takto zadán funkční předpis (vzorec) bez dalšího komentáře, pak množinu všech reálných $x$, pro která má $f(x)$ smysl jakožto reálné číslo, nazýváme maximálním53 definičním oborem takovéto funkce $f$.
Například zápisem $f(x) = x^2 + 3x$ máme pro každé reálné $x$ jednoznačné $f(x)$, které získáme provedením uvedených operací (zde vynásobením $x$ sama se sebou a přičtením trojnásobku $x$). Pokud není řečeno jinak, je tato funkce definovaná na největší možné množině reálných čísel, kde má uvedený předpis smysl, zde tedy $D_f = \mathbb{R}$.
Je dobré neztotožňovat „vzorec“ a „funkci“. Funkce lze zadat mnoha dalšími způsoby, jak si zanedlouho ukážeme. Také je dobré si uvědomit, že některé vzorce jsou v podstatě v tento okamžik „podvodné“ a středoškolská matematika nám mnoho neříká o skutečném výpočtu. Jak například spočteme hodnotu $\sqrt{x}$, nebo $\sin(x)$? Pro konkrétní hodnoty $x$ lze k výpočtu použít kalkulačku nebo počítač, ale jak tyto stroje spočtou tyto hodnoty a spočtou je přesně? Tím se budeme mimo jiné zabývat v BI-MA1 a BI-MA2.
Uveďme ještě alespoň jeden příklad. Dejme tomu, že je zadána funkce předpisem
bez jakéhokoliv komentáře o definičním oboru. Označení nezávisle proměnné $z$ by nás nemělo nijak děsit, i to se může stát. Jejím definičním oborem je tedy výše zmíněný maximální definiční obor. Ten musíme nalézt. Argument druhé odmocniny musí být nezáporný, tedy $z$ patřící do definičního oboru funkce $h$ musí splnit
Součin dvou reálných čísel je nezáporný, právě když jsou obě daná čísla nezáporná nebo nekladná. Aby $z$ patřilo do $D_h$ musí tedy platit $z \geq 2$ a současně $z \geq 1$ (tj. $z \geq 2$) nebo $z \leq 2$ a současně $z \leq 1$ (tj. $z \leq 1$). Maximálním definičním oborem naší funkce $h$ proto je množina
Ne každý vzoreček zadává funkci. Například ani jeden z výrazů
nemá dobrý smysl54 pro žádné reálné $x$.
K znázornění funkce lze použít její graf. Zavedeme-li v rovině dvě pravoúhlé souřadné osy označované standardně $x$ (vodorovná osa, nezávisle proměnná) a $y$ (svislá osa, závisle proměnná), pak grafem funkce $f$ nazýváme množinu bodů $(x,y) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ splňujících $y = f(x)$. Klademe tedy
Občas také používáme symbol $\Gamma_f$, kde $\Gamma$ je velké řecké písmenko gama. „Znázornění“ zmíněné na začátku tohoto odstavce tedy spočívá v obarvení bodů v rovině, které mají souřadnice $(x, f(x))$, kde $x \in D_f$, v těchto bodech je zachyceno působení funkce $f$ na bodech $x \in D_f$.
Nyní se budeme věnovat několika typům a druhům známých funkcí. Přehled vlastností mnoha elementárních funkcí a jejich vlastností lze nalézt např. v knížce (Bartsch, 2000) nebo na stránce (NIST Digital Library of Mathematical Functions, b.r.).
Abychom mohli snadno mluvit o chování funkcí, vyplatí se zavést několik užitečných pojmů. Podle růstu rozlišujeme následující typy:
Funkce $f$ s definičním oborem $D_f \subset \mathbb R$ je na intervalu $A \subset D_f$
rostoucí, jestliže $(\forall x,y \in A)\big(x < y \Rightarrow f(x) \leq f(y)\big)$, slovně: jestliže pro každé $x$ a $y$ z množiny $A$ platí, že je-li $x < y$ pak $f(x) \leq f(y)$,
ostře rostoucí, jestliže $(\forall x,y \in A)\big(x < y \Rightarrow f(x) < f(y)\big)$,
klesající, jestliže $(\forall x,y \in A)\big(x < y \Rightarrow f(x) \geq f(y)\big)$,
ostře klesající, jestliže $(\forall x,y \in A)\big(x < y \Rightarrow f(x) > f(y)\big)$,
monotonní, jestliže je rostoucí nebo klesající,
ryze monotonní, jestliže je ostře rostoucí nebo ostře klesající.
Zde opět čtenáře upozorňujeme na poznámku 3.1. Námi používané názvosloví není příliš v naší zemi rozšířené, používá se spíše v anglosaské literatuře a terminologii. Je tedy pravděpodobnější, že na něj čtenář narazí při hledání na internetu a případném studiu anglické literatury (viz např. (Weisstein, b.r.)). To je jeden z důvodů motivující naší volbu.
Z hlediska symetrií funkcí rozlišujeme funkce sudé, liché a periodické.
Funkce $f$ se nazývá
sudá, jestliže $(\forall x \in D_f)((-x \in D_f) \ \text{a} \ (f(-x) = f(x)))$,
lichá, jestliže $(\forall x \in D_f)((-x \in D_f) \ \text{a} \ (f(-x) = -f(x)))$,
periodická s periodou $T > 0$, jestliže $(\forall x \in D_f)((x + T \in D_f) \ \text{a} \ (f(x) = f(x + T)))$.
Graf sudé funkce je osově symetrický vůči ose $y$. Graf liché funkce je bodově symetrický vůči počátku souřadnic. Funkční hodnota periodické funkce v bodě $x$ se nezmění s posunutím o $T$ do bodu $x+T$. Tato geometrická interpretace těchto vlastností je názorně vidět na obrázku 4.1.
Konečně na tomto místě připomeňme pojem prosté funkce.
Funkci $f: D_f \to \R$ nazýváme prostou, právě když pro každá dvě různá čísla $a$ a $b$ z definičního oboru funkce $f$ jsou i jejich funkční hodnoty $f(a)$ a $f(b)$ různé. Ekvivalentně zapsáno symbolicky,
Alternativně lze požadavek v definici přeformulovat takto: funkce $f$ je prostá, právě když pro každá dvě čísla $a,b \in D_f$ splňující $f(a) = f(b)$ platí $a = b$.
Například funkce $f(x) = x^2$ definovaná na celém $\R$ není prostá. Není splněn požadavek v definici, stačí zvolit dvě očividně různá čísla $a = 1$ a $b = -1$ pro která platí $f(1) = f(-1)$. V tomto odstavci jsme vyvrátili prostotu funkce $f$ protipříkladem.
Naproti tomu funkce $g(x) = x^3$ definovaná na celém $\R$ už prostá je. Skutečně, vezměme dvě $a,b \in \R$ splňující $g(a) = a^3 = b^3 = g(b)$. Plyne odtud55 rovnost $a = b$? Z předpokladu použitím známého algebraického vzorce (viz větu 2.3) plyne rovnost
Výraz v druhé závorce je nulový právě tehdy když $a = b$. O tom se můžeme přesvědčit úpravou na čtverec:
Pokud je alespoň jedno z $a,b$ nenulové, pak z (4.4) nutně plyne $a = b$. Tím je prostota funkce $g$ dokázána.
Mezi časté studentské mýty patří tvrzení: funkce $f$ je prostá, právě když každý vzor má právě jeden obraz. Toto tvrzení platí pro každou funkci, nevyjadřuje prostotu funkce. Je totiž vágní ve smyslu použití sousloví „právě jeden“.
Ve zbytku této kapitoly se budeme zabývat vlastnostmi konkrétních známých funkcí, případně celých tříd funkcí.