Pro reálné číslo $x$ klademe
Funkci $|x|$ nazýváme absolutní hodnota. Zápis použitý v rovnici (4.5) je třeba interpretovat následovně: Pokud je dané $x$ větší nebo rovno $0$, pak je $|x|$ definována jako $x$ a v případě, že $x$ je záporné, je $|x|$ definována jako $-x$. Graf absolutní hodnoty je vynesen na obrázku č. 4.2.
Shrňme nyní několik základních vlastností absolutní hodnoty. Definičním oborem absolutní hodnoty je zřejmě celá reálná osa, tj. $D_{|x|} = \mathbb{R}$. Oborem hodnot absolutní hodnoty jsou všechny nezáporná reálná čísla, tedy $H_{|x|} = \langle 0, +\infty)$. Skutečně, z definice (4.5) očividně plyne nerovnost $|x| \geq 0$ pro každé $x$ a na druhou stranu pro libovolné $y \geq 0$ platí $|y| = y$. Dále přímo z definice (4.5) jasně plyne56, že pro každé reálné $x$ a $y$ platí
a (rozmyslete!)
Z hlediska monotonie je absolutní hodnota (ostře) rostoucí funkce na intervalu $\langle 0, +\infty)$ a (ostře) klesající funkce na intervalu $(-\infty, 0\rangle$. Přímo z definice také vidíme, že se jedná o sudou funkcí, která není prostá.
Další veledůležitou vlastností absolutní hodnoty je tzv. trojúhelníková nerovnost. Tu si pro její důležitost (v příštím semestru v BI-MA1 si zkuste uvědomit co vše jsme pomocí ní dokázali) zformulujeme jako samostatnou větu.
Pro každé reálné $x$ a $y$ platí nerovnost
Uvažme libovolně pevně daná reálná $x$ a $y$. Pokud
$x+y \geq 0$, pak $|x+y| = x+y \leq |x| + |y|$,
$x+y < 0$, pak $|x+y| = -(x+y) = -x -y \leq |x| + |y|$.
Skutečně, pro každé reálné $z$ totiž platí $z \leq |z|$.
$\square$
Dokažte nebo vyvraťte tvrzení: pro každé $x\in\mathbb{R}$ platí $\sqrt{x^2} = x$.
Tvrzení není pravdivé, uvažte libovolné záporné číslo $x$. Pro všechna reálná $x$ platí $\sqrt{x^2} = |x|$.