Teorie kategorií (2024)
kontakt
Jan Starý, jan.stary@fit.cvut.cz
anotace
Úvod do teorie kategorií, s důrazem na vazby s teoretickou informatikou.
literatura
Výchozím materiálem je studijní text, který bude během semestru postupně narůstat. Původní literaturou bude hlavně:
- B. C. Pierce: Basic Category Theory for Computer Science, MIT Press 1991
- M. A. Arbib, E. G. Manes: The Categorial Imperative, Academic Press, 1975
- H. Herrlich, G. E. Strecker: Category Theory, Heldermann, 2007
- D. Pitt, S. Abramsky, D. Rydeheard: Category Theory and Computer Programming, Springer, 1986
bylo
- 23.02. Motivace. Kategorie: objekty a morfismy; příklady.
- 23.03. Základní příklady; monomorfismy a epimorfismy.
- 01.03. Iniciály a terminály, ekvalizéry a koekvalizéry.
- 08.03. Produkty a koprodukty. Diagramy, limity.
- 08.03. Koprodukty v monoidech.
- 15.03. Marandova věta. Exponenty, eval.
- 29.03. (Velikonoce)
- 05.04. (lichý pátek) Funktory. Přirozené transformace.
bude
- 12.04. Adjunkce: příklady.
- 12.04. Reflexe: kondenzace, symetrizace, abelizace, nadtěleso
- 19.04. Adjunkce: Adjoint Function Theorem.
hodnocení
Úspěšně absolvovat NI-TKA obnáší získat zápočet a složit zkoušku.
Na přednáškách i cvičeních budu průběžně zadávat drobné podúlohy, přeskakovat krátké důkazy technikálií apod, které později podrobně uděláme (tj. uděláte) na cvičeních. Zkoušce pak předchází zápočtový test obsahující dva „početní“ příklady. Zkoušku lze skládat teprve po získání zápočtu.
Po dvou „praktických“ úlohách tvořících zápočet následují dvě obsáhlejší „teoretické“ otázky (typicky definice-věta-důkaz). V teoretických otázkách jde o pochopení základních pojmů, hlavní věty, a hlavní myšlenky důkazů, nikoli o sáhodlouhou indukci nebo technikálie.
Pokud někoho obzvláště zaujme některé z témat, která jsme prošli, může jednu z těchto teoretických otázek navrhnout sám předem. Taková zkoušková otázka podléhá mému schválení co do rozsahu.
cvičení
Zde budou zveřejněny úlohy, jejichž řešením na cvičení lze získávat body přispívající k zápočtu.
- Každý morfismus v kategorii těles je monomorfismus.
- Isomorfismus je nutně mono i epi, ale nikoli naopak.
- Každý monomorfismus v kategorii vektorových prostorů je ekvalizér.
- Každý epimorfismus v kategorii vektorových prostorů je koekvalizér.
- Kategorie vektorových prostorů má ekvalizéry i koekvalizéry.
- Popište koekvalizéry v kategorii uspořádaných množin.
- Popište retrakty v kategorii vektorových prostorů.
zkouškové termíny
Zkouškovým termínem je kterýkoli den zkouškového období, který se vám hodí, pokud o něm vím řekněme dva dny předem. Při našem počtu nemá cenu vypisovat termíny hromadně, resp. můžeme formálně vypsat každý takový termín.