FIT ČVUT Course Pages
BI-ALO — Algebra a logika
Jdi na navigaci předmětu

Algebra a logika (2026)

kontakt

Jan Starý, jan.stary@fit.cvut.cz

anotace

Cílem výběrové přednášky je prohloubit a rozšířit témata ze základního kurzu logiky a popsat souvislosti logiky s informatikou a algebrou. Podrobněji viz předběžný plán níže.

literatura

Výchozím textem je Úvod do matematické logiky. Pro zvídavé jsou zde i některé původní články na jednotlivá témata.

bylo

  • 16.02. Syntax predikátové logiky: dokazatelnost.
  • 16.02. Interpretace, splňování ve strukturách.
  • 23.02. Věta o dedukci, věta o korektnosti.
  • 02.03. Úplnost: Gödelova věta, Henkinova konstrukce.
  • 02.03. Axiomy rovnosti.
  • 09.03. Konzervativní henkinovské rozšíření.
  • 16.03. Lindenbaumova věta. Kompaktnost.
  • 16.03. Důsledky kompaktnosti.
  • 23.03. Axiomy teorie množin.
  • 30.03. Dobrá uspořádání, ordinální čísla.
  • 06.04. pomlázka, pesach, slunovrat, zmrtvýchvstání.
  • 13.04. Přirozená, celá, racionální, reálná čísla.
  • 20.04. Axiom výběru, principy maximality.
  • 27.04. AC iff každý vektorový prostor má bazi (Blass).
  • 27.04. Mohutnosti, kardinální čísla.
  • 04.05. Mohutnosti: příklady

bude

  • 11.05. Kardinální aritmetika
  • 11.05. kardinální aritmetika

hodnocení

Úspěšně absolvovat BI-ALO obnáší získat zápočet a složit zkoušku.

Na přednáškách i cvičeních budu průběžně zadávat drobné podúlohy, přeskakovat krátké důkazy technikálií apod, které později podrobně uděláme (tj. uděláte) na cvičeních. Zkoušce pak předchází zápočtový test obsahující dva „početní“ příklady. Zkoušku lze skládat teprve po získání zápočtu.

Po dvou „praktických“ úlohách tvořících zápočet (typicky nějaká konkrétní „početní“ otázka v konkrétní struktuře, konstrukce nějaké struktury, prenexní tvar, Skolemizace, resoluce, apod.) následují dvě obsáhlejší „teoretické“ otázky (typicky definice-věta-důkaz). V teoretických otázkách jde o pochopení základních pojmů, hlavní věty, a hlavní myšlenky důkazů, nikoli o sáhodlouhou indukci nebo technikálie.

Pokud někoho obzvláště zaujme některé z témat, která jsme prošli, může jednu z těchto teoretických otázek navrhnout sám předem. Taková zkoušková otázka podléhá mému schválení co do rozsahu; dobrým příkladem je: definice dobrých uspořádání, ordinálů, a důkaz věty o tom, že každé dobré uspořádání je isomorfní s právě jedním ordinálem; nebo: axiom výběru a s ním ekvivalentní principy maximality.

cvičení

Zde budou zveřejněny úlohy, jejichž řešením na cvičení lze získávat body přispívající k zápočtu. Číslování vět a důkazů se odvolává vždy na současnou verzi textu (který průběžně roste). Kdyby některý z příkladů někoho zaujal, ozvěte se prosím.

  • Zformulujte axiomatiku uspořádaných těles; ukažte, že těleso komplexních čísel nelze uspořádat. Zkuste uspořádat těleso Z_p.
  • Ověřte podrobně, že ordinální operace součtu a součinu jsou asociativní.
  • Ověřte podrobně, že na oboru přirozených čísel jsou komutativní.
  • Ověřte podrobně, že násobení přirozených čísel je distributivní vůči sčítání.
  • Zaveďte přirozeným způsobem uspořádání na celých a racionálních číslech a ukažte, že má vlastnosti, které od něj očekáváte.

zkouškové termíny

Zkouškovým termínem je kterýkoli den zkouškového období, který se vám hodí, pokud o něm vím řekněme dva dny předem. Při našem počtu nemá cenu vypisovat termíny hromadně, resp. můžeme formálně vypsat každý takový termín.

logika v blízkém okolí