9.1 Celočíselná mocnina

1 Úvod 2 Číselné množiny 3 Logika: důkaz 4 Algebraické výrazy 5 Funkce 6 Rovnice a nerovnice 7 Lineární a lomené funkce 8 Trigonometrické funkce 9 Exponenciála a logaritmus 9.1 Celočíselná mocnina 9.2 Exponenciální funkce 9.3 Logaritmus 10 Posloupnosti a sumy 11 Analytická geometrie 12 Kombinatorika 13 Logika – formalizace Index Literatura

Pro libovolné reálné číslo $a \in \R$ a přirozené $n \in \N$ definujeme $n$-tou mocninu $a$ jakožto opakovaný součin

\begin{equation*} a^n \ceq \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \ \text{hodnot} \ a}. \end{equation*}

Dále klademe $a^0 \ceq 1$. Nula v exponentu z pohledu předchozí definice naznačuje prázdný součin a je přirozené mu přiřadit hodnotu neutrálního prvku vůči násobení, což je $1$. To platí i pro $a = 0$. Dále pro nenulové $a \in \R$ a záporné celé $n \in \N$ klademe

\begin{equation*} a^n \ceq \left( \frac{1}{a} \right)^{-n} = \underbrace{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} \cdots \frac{1}{a}}_{n \ \text{hodnot} \ \frac{1}{n}}. \end{equation*}

Zde využíváme předchozí definici pro kladný celočíselný exponent.

Takto definovaná $n$-tá mocnina nenulového reálného $a$ splňuje důležité vztahy

\begin{equation*} a^{n + m} = a^n \cdot a^m \quad \text{a} \quad (a^n)^m = a^{nm}. \end{equation*}

Skutečně, rozmyslete si, jak tyto vztahy plynou přímo z výše uvedených definic!