9.2 Exponenciální funkce

1 Úvod 2 Číselné množiny 3 Logika: důkaz 4 Algebraické výrazy 5 Funkce 6 Rovnice a nerovnice 7 Lineární a lomené funkce 8 Trigonometrické funkce 9 Exponenciála a logaritmus 9.1 Celočíselná mocnina 9.2 Exponenciální funkce 9.3 Logaritmus 10 Posloupnosti a sumy 11 Analytická geometrie 12 Kombinatorika 13 Logika – formalizace Index Literatura

Pro $0 < a \neq 1$ funkci³⁴

\begin{equation*} f(x) = a^x, \quad x\in D_f = \R, \end{equation*}

nazýváme exponenciálou o základu $a$. Tato funkce rozšiřuje mocninnou funkci ze začátku této podkapitoly i na neceločíselné exponenty. Pro libovolná reálná $x$ a $y$ platí známé vzorce

\begin{equation*} a^x \cdot a^y = a^{x+y} \quad \text{a} \quad \big(a^x\big)^y = a^{xy}. \end{equation*}

Na obrázku 9.1 je znázorněn známý průběh funkce $f$ pro různé základy $a$.

Poznamenejme, že předchozí odstavec nelze považovat za definici exponenciální funkce. Jde spíše o dohodnutí značení. Problému, jak skutečně funkci oplývající uvedenými vlastnostmi zkonstruovat, se budeme věnovat v průběhu BI-MA2.

Obrázek 9.1: Exponenciální funkce s různými základy.

Exponenciální funkce (a její další případná zobecnění) je velmi důležitá v reálných přírodních aplikacích. Na tomto místě pouze lehce krypticky zmiňme, že se objevuje v situacích, kdy je možné míru změny jisté veličiny považovat za přímo úměrnou její hodnotě. Typickým příkladem procesů popsaných pomocí exponenciálních funkcí jsou tak rozdílné jevy³⁵ jako je radioaktivní rozpad a šíření viru v populaci (alespoň v jisté fázi). Dále na ni narazíme při popisu složitosti algoritmů, kdy si na vystihnutí chování některých algoritmů nevystačíme s polynomiálními funkcemi: exponenciální funkce (s různými základy) nám umožňují popsat závislosti rostoucí (nebo klesající) „řádově“ silněji, než polynomy.

Obecně lze říci, že pro $a > 1$ je $f$ ostře rostoucí ($f(x) < f(y)$ kdykoliv $x < y$), $D_f = \R$ a $H_f = (0,+\infty)$. Pro $a < 1$ je $f$ ostře klesající ($f(x) > f(y)$ kdykoliv $x < y$), $D_f = \R$ a $H_f = (0,+\infty)$.

Exponenciální funkce není sudá, lichá, ani periodická. Je ovšem prostá, ale není na (není surjektivní).