Pojďme se nyní v několika odstavcích podívat, jakým způsobem jsou strukturované tyto a další materiály, na které během studia jistě ještě narazíte. Matematické texty, ať už se jedná o učebnice, skripta nebo odborné články, bývají zpravidla rozděleny do definic, vět a důkazů. (Dále můžou být doplněny i menšími tvrzeními, poznámkami, příklady, otázkami, domněnkami, či cvičeními.) Tato forma zápisu zpřehledňuje a zdůrazňuje logické návaznosti textu. Jejím cílem je usnadnit čtenáři orientaci v textu a jeho porozumění. Pomáhá nejen při samotném čtení, ale i při zpětném vyhledávání konkrétních informací. Základními stavebními prvky této struktury jsou následující typy „prostředí“:
Definice (angl. Definition): Na tomto místě se zavádějí (definují) nové pojmy. Ve více neformálním výkladu mohou být nové pojmy zavedeny i přímo v textu (toho často využíváme i v těchto poznámkách). Smyslem definice je jednoznačně ukotvit (definovat) pojem. Autor definice si se čtenářem domlouvá co si pod daným pojmem má od toho okamžiku představovat. To je velmi důležité. Bez jasně definovaných pojmů hrozí nebezpečí, že se dva lidé nebudou moci shodnout, protože každý mluví o něčem jiném, ale oba pro to používají stejný název.
Věta (angl. Theorem): Důležité tvrzení, které bylo dokázáno, a zaslouží si číselné označení v textu, či dokonce jméno po svých údajných autorech. Často (ale ne výhradně!) má formu podmíněného tvrzení, kde se v předpokladech vymezí uvažované objekty, a v závěru prohlásí, co o těchto objektech můžeme dokázat, nebo formu existenčního tvrzení.
Důkaz (angl. Proof): Prostředí obsahující důkaz předcházejícího tvrzení (lemmatu, tvrzení, věty, důsledku). Důkaz je logické odvození pravdivosti tvrzení na základě axiomů, dříve zavedených definic nebo již dokázaných vět. Poněvadž je typicky delší než formulace věty, bývá jeho konec označen symbolem pro konec5 důkazu. Nejčastěji používáme Halmosův symbol náhrobku $\square$. Čtenář také může často narazit na zkratku Q.E.D. pocházející z latinského quod erat demonstrandum („což bylo dokázati“). O důkazech se čtenář podrobněji dočte v sekci 3.2.
Dále se lze setkat ještě s následujícími:
Lemma6 (angl. Lemma): Pomocné tvrzení, které samo o sobě nemá širší uplatnění7, ale použije se v důkazu některé z bezprostředně následujících vět. Slouží k tomu, aby se důkaz většího tvrzení rozdělil na menší, přehlednější části. Často bývá více technického charakteru.
Tvrzení (angl. Proposition): Tvrzení menšího významu nebo rozsahu než věty (často i s jednodušším důkazem), které je ale stále samostatně zajímavé a užitečné.
Pozorování (angl. Observation): Jednoduché tvrzení, které lze velmi snadno dokázat (nebo spíše ukázat či ověřit), obvykle přímo z definice pojmu, kterého se týká. I když jsou taková tvrzení téměř zřejmá, někdy má smysl je výslovně uvádět, zejména pokud se často používají. Explicitní formulace pomáhá zvýraznit jejich význam a usnadňuje orientaci v textu.
Důsledek (angl. Corollary): Tvrzení bezprostředně plynoucí z předešlých vět, přeformulování předchozích vět do jiného kontextu. Typicky s velmi jednoduchým důkazem (prakticky jen velmi přímočaré použití – tedy aplikace – předešlých vět).
Na tomto místě si dovolíme jednu krátkou poznámku o častém studentském nešvaru. Poslední dobou se opakovaně setkáváme s pozoruhodným slovním spojením „definovat větu“. To ukazuje na fundamentální nepochopení ze strany uživatelů tohoto nesmyslného dvousloví. Dotyční pravděpodobně slovo „definovat“ mylně chápou ve smyslu „doslovně opsat“. „Definovat větu“ z principu nelze. Můžete definovat pojem a poté vyslovit jisté tvrzení o tomto pojmu, tedy větu. Tu ale musíte dokázat, ověřit zda platí. Tvrzení v matematice naštěstí nelze definovat.
Naše další poznámka se týká korektnosti definic. Logicky správná definice musí být smysluplná, jednoznačná (nevyvolává žádné nejasnosti), konzistentní s dříve zavedenými definicemi a matematickým jazykem, bez rozporů, a nesmí používat definici kruhem (pojem není definován sám sebou nebo pomocí pojmu, který závisí na něm). Někdy je po vyslovení definice nějakého objektu (typicky funkce, operace, atd.) potřeba ukázat, že tento objekt je „dobře definovaný“. Znamená to, že definice nezávisí na případné reprezentaci a že objekt je skutečně z požadované kategorie objektů.
Čtenáři může být bližší notace pomocí XML jazyka. Strukturu matematického textu si lze pak představovat třeba následovně:
<definice>
...
</definice>
<veta>
...
</veta>
<dukaz>
...
</dukaz>
Očividně, prezentovat čtenáři text tímto způsobem by bylo typograficky ztřeštěné. Je ovšem vhodné podotknout, že zdrojový kód tohoto dokumentu právě tento přístup využívá.
Většina matematických textů samozřejmě není složená pouze z výše uvedených dílků. K pohodlí čtenáře jsou často uváděny i doplňující komentáře, příklady či diagramy, vysvětlující další kontext týkající se probírané tematiky.
S tímto strukturovaným přístupem k psaní se lze setkat nejen v matematice, ale i v další technické a odborné literatuře. Z oblasti IT zmiňme například žánr dokumentace, či specifikace standardů, kde se klade velký důraz na logickou strukturu textu.