3.3 Ukázka několika častých typů důkazů

1 Úvod 2 Číselné množiny 3 Logika: důkaz 3.1 Struktura matematického textu 3.2 Co je to důkaz? 3.3 Ukázka několika častých typů důkazů 3.4 Co není důkaz? 4 Algebraické výrazy 5 Funkce 6 Rovnice a nerovnice 7 Lineární a lomené funkce 8 Trigonometrické funkce 9 Exponenciála a logaritmus 10 Posloupnosti a sumy 11 Analytická geometrie 12 Kombinatorika 13 Logika – formalizace Index Literatura

V této sekci si ukážeme několik jednoduchých důkazů známých a důležitých tvrzení. S dalšími důkazy se budete moci seznámit v dalších kapitolách tohoto textu. Více o metodách důkazů obecně se pak dozvíte v kurzu BI DML.21.

3.3.1 Přímý důkaz

Prvním typem důkazu, který si ukážeme, je přímý důkaz. Takříkajíc bez oklik, přímočaře, z předpokladů odvodíme závěr tvrzení. Uvažme následující větu.

Věta 3.1

Pro libovolná reálná čísla $a$ a $b$ a nezáporné celé číslo $n$ platí rovnost

\begin{equation}\label{eqAnBn}\tag{3.1} a^n - b^n = (a-b) \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k}. \end{equation}

Zobrazit důkaz

Mějme tedy $a,b \in \mathbb{R}$ a $n \in \mathbb{N}_0$. Máme dokázat rovnost (3.1). Vyjděme z pravé strany této rovnosti a postupnými algebraickými úpravami ji upravme až získáme levou stranu (3.1). Konkrétně

\begin{equation*} \begin{aligned} (a-b) \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k} & \href{Roznásobení závorky.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} a \cdot \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k} - b\cdot \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k} = \\ & \href{Roznásobení sum čísly $a$ a $b$.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} \sum_{k=0}^{n-1} a^{k+1} b^{n-1-k} - \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-k} = \\ & \href{Posunutí sčítacího indexu v první sumě.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} \sum_{k=1}^{n} a^{k} b^{n-k} - \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-k} = \\ & \href{Vyjmutí posledního členu z první sumy a prvního členu z druhé sumy.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} a^n + \sum_{k=1}^{n-1} a^{k} b^{n-k} - b^n - \sum_{k=1}^{n-1} a^k b^{n-k} = \\ & \href{Odečtení stejných sum.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} a^n - b^n. \end{aligned} \end{equation*}

Jinak řečeno, po roznásobení sumy závorkou $(a-b)$ se drtivá většina členů vzájemně odečte a zbude pouze rozdíl $a^n - b^n$.

$\square$

Pod tvrzením věty 3.1 se skrývají známé speciální případy:

\begin{equation*} \begin{aligned} a^2 - b^2 &= (a-b)(a+b), \\ a^3 - b^3 &= (a-b)(a^2 + ab + b^2). \end{aligned} \end{equation*}

Tyto vzorce a obecný vzorec (3.1) se nám budou v budoucnu hodit (nejen) při výpočtu limit. V čem je věta 3.1 tak užitečná? Umožňuje nám vyjádřit rozdíl stejných mocnin dvou čísel pomocí rozdílu čísel samotných. Jinak řečeno, pokud máme nějakou informaci o rozdílu $a-b$, pak pomocí této věty lze něco usoudit i o rozdílu $a^n - b^n$.

Další aplikací této věty je snadné odvození vzorce pro součet prvních několika členů geometrické posloupnosti.

Poznámka 3.3

V dokázaném vzorci (3.1) je obsažen i vzorec pro součet prvních několika členů geometrické posloupnosti s prvním členem $1$ a kvocientem $q$. Skutečně, uvážíme-li v tomto vzorci $a = q \neq 1$ a $b = 1$, pak dostaneme

\begin{equation*} q^n - 1 = (q - 1) \sum_{k=0}^{n-1} q^k \end{equation*}

a po vydělení nenulovým faktorem $q - 1$

\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n-1} q^k = \frac{q^n - 1}{q - 1}. \end{equation*}

Poznámka 3.4

Další užitečnou aplikací (3.1) je možnost „zbavit se odmocnin“. Přesněji, představme si, že pracujeme s výrazem tvaru $\sqrt{x} - \sqrt{y}$ a chtěli bychom využít naší znalosti samotného rozdílu $x - y$. Jak toho docílit? Stačí vzorec (3.1) použít ve tvaru

\begin{equation*} a - b = \frac{a^2 - b^2}{a + b} \end{equation*}

a položit $a = \sqrt{x}$, $b = \sqrt{y}$. Tím dostaneme

\begin{equation*} \sqrt{x} - \sqrt{y} = \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}\,, \end{equation*}

přesně jak jsme chtěli. Nově vzniknuvší jmenovatel nás většinou netrápí, protože se v něm provádí součet, ne rozdíl.

Podobnou úpravu lze udělat i pro vyšší odmocniny i různého řádu. Dále je tato úprava důležitá i z pohledu numerických výpočtů na počítači. Lze se pomocí ní alespoň trochu bránit tzv. katastrofickému krácení při odečítání podobně velkých hodnot ve strojové přesnosti.

Poznámka 3.5 (Nepřímý důkaz)

Uvažujme nějaké tvrzení ve tvaru implikace, tedy podmíněné věty, například

„Nechť $m,n$ jsou celá čísla. Pokud je číslo $m\cdot n$ sudé, potom je alespoň jedno z čísel $m$ a $n$ také sudé“.

Podle Věty 13.1 má toto tvrzení stejný význam jako jeho obměna, tedy tvrzení

„Nechť $m,n$ jsou celá čísla. Pokud jsou $m$ a $n$ lichá čísla¹⁰, potom je $m\cdot n$ také liché číslo“.

Tato dvě tvrzení jsou logicky ekvivalentní – jedno je pravdivé právě tehdy, když je pravdivé to druhé. Z toho vyplývá, že původní tvrzení můžeme dokázat tak, že dokážeme jeho obměnu jakoukoli vhodnou metodou. Tento postup se nazývá nepřímý důkaz nebo také důkaz obměnou. Využití obměny bývá výhodné tam, kde je její formulace snazší k důkazu než přímý postup od předpokladu k závěru.

V tomto případě bychom se v přímém důkazu tvrzení potřebovali odkázat na netriviální větu o Bézoutově rovnosti z teorie čísel, která říká, že největší společný dělitel dvou čísel lze vyjádřit jako jejich lineární kombinaci (obeznámíte se s ní v BI DML.21). Naproti tomu, k nepřímému důkazu nám postačí znalost definice sudosti, resp. lichosti celých čísel. Připomeňme, že celé číslo $m$ se nazývá sudé, pokud existuje celé číslo $k$ takové, že $m=2\cdot k$. A celé číslo $m$ se nazývá liché, pokud existuje celé číslo $k$ takové, že $m=2\cdot k+1$. Každé celé číslo je buď sudé nebo liché. Přímý důkaz obměněné implikace je tedy následovný:

Pokud jsou $m$ a $n$ lichá čísla, existují celá čísla $k$ a $l$ taková, že $m=2\cdot k+1$ a $n=2\cdot l+1$. Potom

\begin{equation*} m\cdot n=(2\cdot k+1)\cdot (2\cdot l+1)=4\cdot k\cdot l+ 2\cdot k + 2\cdot l+ 1=2\cdot (2\cdot k\cdot l+ k + l) +1. \end{equation*}

Jelikož $2\cdot k\cdot l+ k + l$ je celé číslo, $m\cdot n$ je liché číslo.

3.3.2 Důkaz sporem

Než se pustíme do dalšího důkazu, je potřeba si osvěžit několik pojmů, které se v dokazovaném tvrzení budou objevovat. Připomeňme si nejprve pojmy soudělnosti a nesoudělnosti celých čísel.

Definice 3.1

Celá čísla $m$ a $n$ nazýváme soudělná, právě když mají společného dělitele většího než $1$. Pokud celá čísla $m$ a $n$ nejsou soudělná, nazýváme je nesoudělná.

Pro úplnost ještě dodejme definici dělitelnosti celých čísel využitou v předchozí definici.

Definice 3.2

Celé číslo $m$ dělí celé číslo $n$, neboli $m$ je dělitelem $n$ (symbolicky píšeme $m | n$), právě když existuje celé číslo $k$ takové, že $n = k \cdot m$.

Dále připomeňme pojmy racionálního a iracionálního reálného čísla¹¹.

Definice 3.3

Reálné číslo $x$, které je podílem dvou celých čísel, nazýváme racionální. Reálné číslo, které není racionální, nazýváme iracionální.

V důkazu následující věty využijeme fakt, že každé racionální číslo můžeme jednoznačně zapsat jako podíl dvou nesoudělných celých čísel, kde jmenovatel je kladný.

Následující větu dokážeme pomocí tzv. sporu. Myšlenka důkazu sporem je jednoduchá. Jeden z logických axiomů říká, že každé tvrzení $T$ je buď pravdivé, nebo nepravdivé. K dokázáni pravdivosti tvrzení $T$ nám tedy stačí vyloučit možnost, že $T$ je nepravdivé. Docílíme toho tím, že ukážeme, že případná nepravdivost tvrzení $T$ (tedy pravdivost logického opaku, neboli negace, tvrzení $T$) vede ke sporu.

Pojďme rovnou k názorné ukázce.

Věta 3.2

Číslo odmocnina ze $2$, které označujeme symbolem $\sqrt{2}$, je iracionální.

Poznámka 3.6

Poznamenejme, že $\sqrt{2}$ je takové jediné kladné reálné číslo, které splňuje vztah $\big( \sqrt{2} \big)^2 = 2$.

Předpokládejme opak, tedy že $\sqrt{2}$ je racionální. Protože se navíc jedná o kladné číslo, existují dle definice racionality dvě přirozená a nesoudělná celá čísla $p$ a $q$ splňující

\begin{equation*} \sqrt{2} = \frac{p}{q}\,. \end{equation*}

Odtud ale plyne¹² rovnost

\begin{equation*} 2 = \frac{p^2}{q^2}, \quad \text{čili} \quad 2 q^2 = p^2. \end{equation*}

Vidíme, že $p$ je sudé (jinak bychom měli rovnost sudého a lichého čísla, což je nemožné¹³), tedy¹⁴ $p = 2k$, kde $k$ je přirozené. Dosazením do rovnice výše a po vydělení obou stran číslem $2$ dostáváme rovnost $q^2 = 2k^2$. Použijeme-li stejný argument znovu, dostáváme nutně, že i $q$ je sudé. Čísla $p$ i $q$ jsou proto soudělná (obě dělitelná číslem $2$). My jsme ale předpokládali nesoudělnost $p$ a $q$. Čísla $p$ a $q$ nemohou být současně soudělná i nesoudělná; tato očividná nepravdivost představuje spor.

$\square$

Shrňme si tedy ještě jednou princip důkazu sporem. Chceme se přesvědčit o pravdivosti jistého tvrzení $T$ (tj. chceme ho dokázat). Ukážeme, že logický opak (negace) tvrzení $T$ je nepravdivý. Tím pádem je nutně pravdivé $T$.

Otázka 3.1

Která z následujících čísel jsou racionální a která iracionální? Proč?

\begin{equation*} \frac{\pi}{2}, \quad \frac{3}{4}, \quad \sin \frac{\pi}{4}, \quad \sin \frac{\pi}{6}. \end{equation*}

Zobrazit odpověď

Racionální jsou $\frac{3}{4}$ a $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, protože je lze napsat jako podíl celých čísel, přesně dle definice. Iracionální jsou $\frac{\pi}{2}$ a $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ protože víme, že $\pi$ a $\sqrt{2}$ jsou iracionální čísla.

Otázka 3.2

Které z následujících dvojic čísel jsou soudělné a které nesoudělné? Proč?

$7$ a $6\,330\,079$,
$\sqrt{2}$ a $2$,
$5\,192\,311$ a $36\,551$.

Zobrazit odpověď

1. soudělná (obě dělí $7$), 2. ani nesoudělná, ani soudělná, nejedná se o dvojici celých čísel, 3. nesoudělná (obě jsou prvočísla).

3.3.3 Důkaz matematickou indukcí

Dále si ukážeme důkaz matematickou indukcí. Tento typ důkazu se často používá v případě, že máme nekonečně mnoho tvrzení očíslovaných přirozenými indexy¹⁵, tedy například $T_1, T_2, T_3, \ldots$ Důkaz se provede ve dvou krocích:

základní krok: dokaž první tvrzení, zde $T_1$,
indukční krok: pro libovolné přirozené $n$ dokaž tvrzení: pokud platí $T_n$, pak platí $T_{n+1}$.

Grafické znázornění tohoto postupu je na obrázku 3.1. Základní krok, důkaz $T_1$, je naznačen modrou barvou. Indukčnímu kroku odpovídají červené šipky.

Obrázek 3.1: Schéma důkazu matematickou indukcí. Místo abychom dokázali všechna $T_n$, $n=1,2,\ldots$, dokážeme $T_1$ a indukční krok, tj. tvrzení, že pro všechna $n$ platí $T_n \Rightarrow T_{n+1}$ (červené šipky).

Matematickou indukci lze přirovnat k bourání hada sestaveného z dominových kostek. Každá kostka domina představuje „výrok“ a může se nacházet ve dvou stavech. Kostka může být stojící, nebo spadlá (podobně výrok může být nepravdivý, nebo pravdivý). Pokud chceme zjistit, jestli námi sestavený dominový had celý spadl, máme dvě možnosti. Můžeme zkontrolovat každou z kostek a zjistit, jestli spadla¹⁶. Druhou možností je zkontrolovat tyto skutečnosti:

první kostka spadla – tento bod odpovídá základnímu kroku,
každé dvě sousední kostky jsou umístěny v takové vzdálenosti, že pokud spadne první (ta blíže první kostce), pak spadne i její soused – tento bod představuje analog indukčního kroku.

Potom automaticky víme, že spadly všechny kostky. Zdůrazněme podstatný rozdíl v těchto argumentačních přístupech. Druhý způsob (tj. matematická indukce) kontroluje stav pouze první kostky, u ostatních se nedívá jestli stojí nebo ne, pouze jsou-li u sebe dostatečně blízko.

Ukažme si důkaz pomocí matematické indukce na tzv. binomické větě. V tvrzení věty používáme zkrácený zápis součtu, tzv. sumační notaci, o které se čtenář může podrobněji dozvědět v sekci ??. O kombinačních číslech se zmíníme v sekci ??.

Věta 3.3 (Binomická)

Pro reálná čísla $a$ a $b$ a celé nezáporné číslo $n$, tj. pro $a,b\in\mathbb{R}$ a $n\in \mathbb{N}_0$, platí rovnost

\begin{equation}\label{eqBinomicka}\tag{3.2} (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}. \end{equation}

Poznámka 3.7

Nejjednoduší interpretace vzorce (3.2) spočívá v explicitním roznásobení závorky na levé straně a určení koeficientů členů ve výsledném součtu (kombinační čísla, neboli binomické koeficienty). Díky binomické větě tak nemusíme výrazy typu $(a+b)^n$ sami ručně otrocky roznásobovat (pokud je z nějakého důvodu chceme v roznásobeném tvaru).

V základním kroku ověřme, že zkoumaná rovnost platí pro první uvažované $n$, tj. pro $n=0$. Levá strana (3.2) je rovna $(a+b)^0 = 1$ a pro pravou stranu téže rovnosti platí

\begin{equation*} \sum_{k=0}^0 \binom{0}{k} a^k b^{0-k} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1. \end{equation*}

Rovnost $1=1$ je jistě pravdivá.

Nyní provedeme indukční krok. Předpokládejme, že rovnost (3.2) platí pro dané $n \in \mathbb{N}_0$ (tzv. indukční předpoklad). Ověřme, zda-li potom platí (3.2) i pro $n+1$ místo $n$. Chceme tedy zjistit, zda-li za uvedeného indukčního předpokladu platí i rovnost

\begin{equation*} (a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} a^k b^{n+1-k}. \end{equation*}

Přímočarým výpočtem dostáváme¹⁷

\begin{align*} (a+b)^{n+1} & \href{Obecně pro reálné $z$ platí $z^{n+1} = z \cdot z^n$.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} (a+b)\cdot(a+b)^n \href{Indukční předpoklad: binomická věta platí pro zvolené $n$.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\overset{IP}{=}}} (a+b) \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k} = \\ & \href{Roznásobení závorky a vynásobení sum čísly $a$ a $b$.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{k+1} b^{n-k} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n+1-k} = \\ & \href{Posunutí indexu v první sumě, přeindexováním získáme sčítance stejného tvaru jako v druhé sumě.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n}{k-1} a^k b^{n+1-k} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n+1-k} = \\ & \href{Sčítání přes společný rozsah indexů. Dva členy z každé sumy zůstanou osamoceny.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} \underbrace{\binom{n}{n} a^{n+1} b^{n+1-(n+1)}}_{a^{n+1}} + \sum_{k=1}^n \Bigg( \underbrace{\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k}}_{\binom{n+1}{k}} \Bigg) a^k b^{n+1 -k} + \\ &+ \underbrace{\binom{n}{0} a^0 b^{n+1-0}}_{b^{n+1}} = \\ & \href{Zjednodušení výrazu znázorněné v předchozím výrazu a vyjádření všech členů pomocí jedné sumy.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} a^k b^{n+1-k}.\end{align*}

V rovnosti označené IP jsme použili indukční předpoklad (platnost vztahu pro $n$) a dále jsme jen prováděli algebraické operace, za využití vlastností kombinačních čísel dle Pozorování 12.1. Pokud přečteme začátek a konec tohoto výpočtu, uvidíme, že jsme odvodili vztah pro $n+1$, což bylo naším cílem. Tím je kompletní indukční krok, a tak i celý důkaz matematickou indukcí.

$\square$

Tvrzení binomické věty obsahuje dobře známé algebraické „vzorečky“

\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2, \\ (a+b)^3 &= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.\end{align*}

Tyto vzorce představují speciální případy binomické věty pro konkrétní volbu $n$ (zde $n = 2$ a $n = 3$). Pro tato malá konkrétní $n$ je možné tyto vzorce snadno alternativně ověřit pomocí roznásobení závorek, ale v tento okamžik je to zbytečné, přidělávali bychom si práci. Například pro první rovnost, tedy pro $n=2$ máme

\begin{equation*} (a+b)^2 \href{Definice druhé mocniny.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} (a+b)\cdot (a+b) \href{Distributivní zákon, resp. roznásobení dvou závorek.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} a^2 + ab + ba + b^2 \href{Komutativita násobení.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} a^2 + 2ab + b^2. \end{equation*}

Tento výpočet efektivně dokazuje binomickou větu pro $n=2$. I když podobným způsobem ověříme platnost této věty pro $n=3$ nelze to považovat za důkaz binomické věty. Chyběl by nám důkaz pro $n=4,5,6,\ldots$! Naštěstí jsme tato tvrzení dokazovat nemuseli, stačilo použít matematickou indukci.

Význam binomické věty lze dále demonstrovat na konkrétním příkladě (někdo by řekl „triku“). Představme si, že máme rychle z hlavy spočítat $48^2$. Můžeme využít toho, že číslo $48$ je blízko čísla $50$, jehož druhá mocnina se snadno počítá. Konkrétně dle binomické věty máme

\begin{equation*} 48^2 = (50 - 2)^2 \href{V binomické větě zvolme $a=50$, $b=-2$, $n = 2$.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} 50^2 - 2 \cdot 50 \cdot 2 + 4 = 2500 - 200 + 4 = 2304. \end{equation*}

Otázka 3.3

Čemu se rovná součet prvních $n$ lichých přirozených čísel? Tj. čemu se rovná součet

\begin{equation*} 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = \sum_{j=1}^n (2j-1), \quad n \in \mathbb{N}? \end{equation*}

Své tvrzení dokažte.

Zobrazit odpověď

$\sum_{j=1}^n (2j - 1) = n^2$. Tento vztah laskavý čtenář snadno dokáže pomocí matematické indukce.

Matematickou indukcí by bylo možné dokázat i Větu 3.1 (proveďte!).

3.3.4 Důkaz rozborem případů

Některá tvrzení neumíme efektivně dokázat jediným argumentem platným pro všechny případy tvrzení. Dodatečné informace v jednotlivých případech nám však mohou argumentaci usnadnit. V takové situaci můžeme provést tzv. důkaz rozborem případů. Tato metoda spočívá ve formulaci všech možných případů, které mohou v kontextu daného tvrzení nastat, a v dokázání tvrzení zvlášť pro každý z těchto případů (pomocí libovolné známé metody důkazu). Pozor: Důkaz rozborem případů není totéž jako ověření tvrzení na několika konkrétních příkladech – to nestačí k obecné platnosti tvrzení (viz sekce 3.4)! Klíčové je ujistit se, že rozbor skutečně pokrývá všechny možné situace.

Důkaz následující věty je veden rozborem případů.

Věta 3.4

Pro libovolná reálná čísla $a$ a $b$ platí rovnost

\begin{equation*} |a\cdot b|=|a|\cdot|b|. \end{equation*}

Zobrazit důkaz

Mějme $a,b\in\mathbb{R}$. Můžou nastat právě tyto čtyři různé případy: $a\geq 0$ a $b\geq 0$, $a\geq 0$ a $b< 0$, $a<0$ a $b\geq 0$ a nakonec $a<0$ a $b<0$. Tvrzení dokážeme pro každý případ zvlášť. Použijeme přímé důkazy „nahrazením“ absolutní hodnoty příslušným znaménkem podle definice.

$a\geq 0$ a $b\geq 0$: V tomto případě platí $a\cdot b\geq 0$, proto $|a\cdot b|=a\cdot b=|a|\cdot|b|$.
$a\geq 0$ a $b< 0$: Nyní máme $a\cdot b\leq 0$, proto $|a\cdot b|=-(a\cdot b)=a\cdot(-b)=|a|\cdot|b|$.
$a<0$ a $b\geq 0$: Dokáže se stejně jako případ 2., jenom přehodíme role $a$ a $b$.
$a< 0$ a $b< 0$: Pro tento případ platí $a\cdot b> 0$, tedy tak jako v prvním případě dostaneme $|a\cdot b|=a\cdot b=|a|\cdot|b|$.

Protože $|a\cdot b| = |a|\cdot|b|$ platí v každém ze čtyř případů a tyto případy vyčerpávají všechny možnosti, můžeme dojít k závěru, že tato rovnost platí pro libovolná reálná čísla $a$ a $b$.

$\square$

Poznámka 3.8

V důkazu Věty 3.4 jsme nerozepsali případ 3., kdy $a<0$ a $b\geq 0$, protože je stejný jako případ 2., kde $a\geq 0$ a $b< 0$, jen s prohozenými rolemi proměnných $a$ a $b$. Pro zestručnění důkazu bychom mohli oba tyto případy pokrýt najednou tím, že se omezíme na případ $a\geq 0$ a $b< 0$, bez újmy na obecnosti. Tímto přístupem můžeme následně uzavřít i případ s $a<0$ a $b\geq 0$, protože se řídí stejným argumentem, jen s odpovídajícím prohozením proměnných.

Obecně se v důkazech někdy můžete setkat s frází bez újmy na obecnosti (angl. without loss of generality, zkráceně WLOG). Jejím použitím vyjadřujeme, že k úplnému důkazu tvrzení postačí dokázat jen jeden z několika relevantních případů, protože ostatní by se dokazovaly analogicky. Jinými slovy, vynechané případy se od toho zvoleného nijak zásadně neliší, a není tedy potřeba je dokazovat samostatně – stačí jednoduchá úprava argumentu, například prohození proměnných nebo využití symetrie. Tento postup je však potřeba používat obezřetně – je přípustný pouze tehdy, pokud opravdu nedochází ke ztrátě žádné možnosti nebo odlišné situace. Jinak by mohlo dojít k neúplnému nebo chybnému důkazu.