8.1 Funkce sinus a kosinus

1 Úvod 2 Číselné množiny 3 Logika: důkaz 4 Algebraické výrazy 5 Funkce 6 Rovnice a nerovnice 7 Lineární a lomené funkce 8 Trigonometrické funkce 8.1 Funkce sinus a kosinus 8.2 Funkce tangens a kotangens 8.3 Inverzní funkce k trigonometrickým funkcím 9 Exponenciála a logaritmus 10 Posloupnosti a sumy 11 Analytická geometrie 12 Kombinatorika 13 Logika – formalizace Index Literatura

Funkce sinus a kosinus jsou definovány pomocí následující geometrické konstrukce či algoritmu. Na vstupu je zadán úhel³² $\alpha$ a výsledkem bude hodnota $\sin(\alpha)$ a $\cos(\alpha)$. Při čtení algoritmu je vhodné sledovat obrázek č. 8.1.

V počátku souřadného systému s pravoúhlými osami $x$ a $y$ sestroj jednotkovou kružnici $K$ (tj. kružnici s poloměrem $1$ v daných jednotkách os a středem v bodě $(0,0)$).
Od kladného směru osy $x$ vynes úhel³³ $\alpha$ proti směru hodinových ručiček. Jedním ramenem tohoto úhlu je kladná část osy $x$ a druhé rameno označme $p$.
Označme $A$ průnik $p$ a $K$. Dále sestrojme bod $P$, průnik osy $x$ a rovnoběžky s osou $y$ procházející bodem $A$. Tímto způsobem získáváme pravoúhlý trojúhelník $OPA$.
(Orientovaná) délka strany $OP$ představuje $\cos(\alpha)$ a délka strany $PA$ představuje $\sin(\alpha)$.

Obrázek 8.1: Geometrická konstrukce trigonometrických funkcí sinus a kosinus.

Přesnost výsledku samozřejmě závisí na přesnosti našich rýsovacích nástrojů. Nekonečné přesnosti lze dosáhnout pouze v případě nekonečně přesných nástrojů (zde pravítko, kružítko a úhloměr). Je zřejmé, že tato metoda „výpočtu“ není příliš praktická. V předmětu BI-MA2 si ukážeme, jak efektivně vyhodnocovat funkční hodnoty (nejen) těchto funkcí.

Základní hodnoty funkcí sinus a kosinus jsou shrnuty v tabulce č. 8.1 a jejich grafy si můžete připomenout na obrázku č. 8.3. Z konstrukce je také poměrně patrné, že s funkcemi sinus a kosinus se setkáme jakmile budeme studovat kmitající (oscilující) jevy. Je tomu přesně tak, nejznámější uplatnění v tomto směru je analýza a zpracování signálu (např. audio ve vašem počítači) pomocí Diskrétní Fourierovy transformace (DFT), resp. Rychlé Fourierovy transformace (FFT).

$\alpha$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\sin \alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos \alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$

Tabulka 8.1: Některé význačné hodnoty funkcí $\sin$ a $\cos$.

Přímo z definice pomocí jednotkové kružnice plynou okamžitě funkční hodnoty funkcí sinus a kosinus pro násobky $\frac{\pi}{2}$,

\begin{align*} \sin(0) &= \sin(\pi) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0, \\ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \cos(0) = 1, \\ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) &= \cos(\pi) = -1.\end{align*}

Pro ostatní úhly uvedené v tabulce č. 8.1 je potřeba se odvolat na vhodně zvolený rovnoramenný a rovnostranný trojúhelník. Hodnoty funkcí sinus a kosinus pro úhly $\frac{\pi}{6}$ a $\frac{\pi}{3}$ nalezneme v rovnostranném trojúhelníku o straně dély $1$ (levá část obrázku č. 8.2). Hodnoty funkcí sinus a kosinus pro úhly $\frac{\pi}{4}$ nalezneme v rovnoramenném pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami délky $1$ (pravá část obrázku č. 8.2).

Obrázek 8.2: Odvození hodnot funkcí kosinus a sinus pro úhly $\pi/6$, $\pi/4$ a $\pi/3$.

Přímo z konstrukce funkcí sinus a kosinus ihned plyne důležitá vlastnost těchto funkcí,

\begin{equation}\label{eqSinACos}\tag{8.1} \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1, \quad \alpha \in \mathbb{R}. \end{equation}

Tato rovnost pouze vyjadřuje Pythagorovu větu v pravoúhlém trojúhelníku $OPA$ s přeponou délky $1$ a odvěsnami délky $\sin(\alpha)$ a $\cos(\alpha)$ (viz popis výše a obrázek č. 8.1).

Dále je z uvedené konstrukce patrné, že funkce sinus je lichá a kosinus sudá, tedy

\begin{equation*} \sin (-\alpha) = - \sin(\alpha) \quad \text{a} \quad \cos(-\alpha) = \cos(\alpha), \quad \alpha\in\R. \end{equation*}

Pro definiční obory těchto funkcí platí

\begin{equation*} D_{\sin} = D_{\cos} = \mathbb{R} \end{equation*}

a pro obory hodnot platí

\begin{equation*} H_{\sin} = H_{\cos} = \langle -1,1 \rangle. \end{equation*}

Konečně, obě funkce jsou periodické s nejmenší periodou $2\pi$, obě funkce jsou definovány na celém $\mathbb{R}$ a pro každé $x \in \mathbb{R}$ platí rovnosti $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$ a $\cos(x+2\pi)=\cos(x)$.

Velmi užitečné jsou tzv. součtové vzorce pro funkce sinus a kosinus. Tyto vzorce lze nejsnadněji odvodit pomocí vlastností násobení komplexních čísel s využitím goniometrického tvaru komplexního čísla. Pro libovolná reálná $\alpha$ a $\beta$ platí rovnosti

\begin{equation}\label{eqTrigsum1}\tag{8.2} \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta), \end{equation}

resp.

\begin{equation}\label{eqTrigsum2}\tag{8.3} \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta). \end{equation}

Díky sudosti funkce kosinus a lichosti funkce sinus ze vzorců (8.2) a (8.3) ihned dostáváme analogické vzorce pro rozdíl

\begin{equation*} \begin{aligned} \sin(\alpha - \beta) & \href{V součtovém vzorci pro sinus nahraďte $\beta$ za $-\beta$ a využijte sudost/lichost funkcí sinus a kosinus.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} \sin(\alpha) \cos(\beta) - \cos(\alpha) \sin(\beta), \\ \cos(\alpha - \beta) & \href{V součtovém vzorci pro kosinus nahraďte $\beta$ za $-\beta$ a využijte sudost/lichost funkcí sinus a kosinus.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} \cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta). \end{aligned} \end{equation*}

Podobné vzorce lze odvodit pro funkce tangens i kotangens. Význam těchto vzorců a jejich využití je nasnadě: máme-li informaci o hodnotách $\sin \alpha$ a $\cos \beta$, pak nám tyto vzorce umožňují získat informaci např. o hodnotě $\sin(\alpha + \beta)$. Některé algoritmy na výpočet funkčních hodnot trigonometrických funkcí jsou na těchto vztazích založeny (k dispozici je tabulka předpočtených hodnot pro větší množství vhodně zvolených úhlů, z nichž se šikovně snažíme sčítáním a odčítáním nakombinovat uživatelem zadaný úhel – algoritmus CORDIC, poprvé použitý v navigačním počítači bombardéru B-52).

Dále ze vzorců (8.2) a (8.3) plynou vzorce pro tzv. dvojnásobný úhel, které se používají velmi často:

\begin{equation*} \sin(2\alpha) \href{Použijte součtový vzorec pro sinus s $\beta = \alpha$.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} 2 \sin(\alpha)\cos(\alpha), \end{equation*}

resp.

\begin{equation}\label{eqCosDvojity}\tag{8.4} \cos(2\alpha) \href{Použijte součtový vzorec pro kosinus s $\beta = \alpha$.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha). \end{equation}

Pomocí vztahů (8.1) a (8.4) ihned odvodíme vzorce pro sinus a kosinus polovičního úhlu,

\begin{align*} \cos^2(\alpha/2) &= \frac{1}{2} \big( 1 + \cos(\alpha) \big), & \big|\cos(\alpha/2) \big| &= \sqrt{\frac{1}{2} \big( 1 + \cos(\alpha) \big)}, \\ \sin^2(\alpha/2) &= \frac{1}{2} \big( 1 - \cos(\alpha) \big), & \big| \sin(\alpha/2) \big| &= \sqrt{\frac{1}{2} \big( 1 - \cos(\alpha) \big)}.\end{align*}

Pokud bychom se v těchto vzorcích chtěli zbavit absolutních hodnot, museli bychom o znaménku výrazů rozhodnout na základě úhlu $\alpha$, přesněji jeho příslušnosti do některého ze čtyř kvadrantů.

\(\alpha\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(\sin \alpha\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)
\(\cos \alpha\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)