6.1 Chytré kalkulačky jsou až moc chytré

1 Úvod 2 Matematika není jen počítání 3 Základní pojmy 4 Elementární funkce 5 Analytická geometrie 6 Časté problémy 6.1 Chytré kalkulačky jsou až moc chytré 6.2 Často kladené dotazy 7 Přehled použitého značení Index Literatura

6.1.1 Jak to, že $\ln(-1)$, či $\sin(\ii)$, jsou vyhodnoceny a nevracejí chybu?

Prakticky všechny elementární funkce lze rozšířit takřka na celou množinu komplexních čísel. Ano, platí $\ln(-1) = \ii\pi$ a $\sin(\ii) = \ii \sinh(1)$. Komplexní analýzou se však v povinných matematických předmětech z časových důvodů zabývat nemůžeme. Na přednáškách BI-MA2 však alespoň zmíníme, jak definovat $e^z$ pro libovolné komplexní $z$.

Například Mathematica implicitně pracuje v „komplexním režimu“. To může být pro neznalého uživatele velmi matoucí.

6.1.2 Jak to, že $\sqrt[3]{-1}$ je vyhodnocena jako $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\ii$ a ne jako $-1$?

Pokud jste zvídaví, snadno ověříte, že tento výsledek není špatný:

\begin{equation*} \begin{aligned} \Bigg( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \ii \Bigg)^{\!\!3} &= \Bigg( \underbrace{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}\ii - \frac{3}{4}}_{-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\ii} \Bigg) \cdot \Bigg( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \ii \Bigg) = \\ &= -\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = -1. \end{aligned} \end{equation*}

„Problém“ tkví v tom, že v komplexních číslech má úloha

\begin{equation*} z^3 = -1, \quad z\in\CC, \end{equation*}

celkem tři řešení. To, které jsme dostali, je tzv. principiální řešení – řešení s nejmenším „argumentem“.

6.1.3 Rovnost v CAS Mathematica

V CAS Mathematica mají různé symboly rovnosti následující význam.

Symbol == se používá ve smyslu logické rovnosti (porovnání, zápis rovnic).
Symbol = se používá ve smyslu přiřazení.
Symbol := má význam „opožděného vyhodnocení“.

Demonstrujme tento rozdíl na příkladě. Výstupem tohoto kódu

a = 4;
b = a;
Print[b]
a = 2;
Print[b]

4
4

Naopak vyhodnocení buňky s obsahem

a = 4;
b := a;
Print[b]
a = 2;
Print[b]

má za následek výstup

4
2