6.2 Často kladené dotazy

1 Úvod 2 Matematika není jen počítání 3 Základní pojmy 4 Elementární funkce 5 Analytická geometrie 6 Časté problémy 6.1 Chytré kalkulačky jsou až moc chytré 6.2 Často kladené dotazy 7 Přehled použitého značení Index Literatura

Zde shrnujeme nejčastější dotazy, problémy a omyly, na které studenti zejména na začátku semestru narážejí a na které lze upozornit již nyní.

6.2.1 Na střední škole jsme to dělali/značili/nazývali jinak

To je možné a naprosto v pořádku. Neočekáváte ale přece, že všichni na celém světě budou ctít přístup, který jste na střední škole měli. Různí lidé mohou používat různé konvence a mít k tomu velmi dobré důvody.

Pokud studujete nějaký materiál, pak je rozumné se nejprve seznámit s jazykem, který tento materiál používá. Například ve studijním textu k BI-MA1 je hned na začátku uveden seznam symbolů a na konci rejstřík pojmů umožňující snadno konkrétní definice dohledat.

Jako konkrétní případ uveďme pojmy týkající se monotonie funkcí a posloupností (rostoucí, ostře rostoucí, nerostoucí aj.). Existuje několik variant tohoto názvosloví. My používáme pouze jednu, aby nedocházelo ke zmatkům. Viz přednášky a poznámky k přednáškám.

Tato poznámka se netýká jenom matematiky, platí naprosto obecně.

6.2.2 Inkluze

Nejen v předmětu BI-MA1 používáme pro inkluzi pouze symbol $\subset$ a nerozlišujeme mezi vlastní a nevlastní podmnožinou. Tj. inkluze $A \subset B$ platí právě tehdy, když každý prvek množiny $A$ patří do množiny $B$. Speciálně pro libovolnou množinu platí $A \subset A$. V celém kurzu bez problému vystačíme s tímto jedním pojmem.

V textech, kde se mezi vlastní a nevlastní podmnožinou rozlišuje, bývá zvykem k tomu využívat i speciální značení $A \subseteq B$ a $A \subsetneq B$.

6.2.3 Definiční obory trigonometrických funkcí

Funkce $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$ nejsou prosté a tudíž k nim neexistují inverzní funkce. Lze je ovšem zúžit na obor, kde jsou prosté a k těmto prostým zúžením pak sestrojit inverzní funkce. Je ale nekonečně mnoho způsobů, jak tyto funkce zúžit a vyrobit tak prosté funkce. Standardní volba je následující

\begin{align*} \arcsin &= \left( \sin \Big|_{\langle -\pi/2, \pi/2 \rangle} \right)^{-1}, \\ \arccos &= \left( \cos \Big|_{\langle 0, \pi \rangle} \right)^{-1}, \\ \mathrm{arctg} &= \left( \mathrm{tg} \Big|_{( -\pi/2, \pi/2 )} \right)^{-1}.\end{align*}

Odtud plynou následující vztahy

\begin{align*} D_{\arcsin} &= \langle -1, 1 \rangle, & H_{\arcsin} &= \langle -\pi/2, \pi/2 \rangle, \\ D_{\arccos} &= \langle -1, 1 \rangle, & H_{\arccos} &= \langle 0, \pi \rangle, \\ D_{\mathrm{arctg}} &= \mathbb{R}, & H_{\mathrm{arctg}} &= (-\pi/2, \pi/2).\end{align*}

6.2.4 Nula na nultou

Algebraický výraz $0^0$ definujeme jako $1$. Nula v exponentu vyjadřuje prázdný součin (není co násobit) a výsledkem je proto neutrální prvek vůči násobení, tedy $1$. Podobně u prázdné sumy je výsledkem $0$, neutrální prvek vůči sčítání.

6.2.5 Nutná podmínka, směr implikace

Pokud platí implikace $A \Rightarrow B$, pak o $B$ často mluvíme jako o nutné podmínce pro $A$. Pokud $B$ neplatí, pak nutně nemůže platit $A$ (protože kdyby $A$ platilo, pak platí $B$).