5.3 Kružnice a elipsa
Rovnici kružnice lze snadno sestavit, vzpomeneme-li si opět na Pythagorovu větu. Kružnice se středem v bodě $C=(c_1,c_2)$ a poloměrem $r > 0$ je množina všech bodů $(x,y)$, jejichž vzdálenost od bodu $C$ je rovna $r$. Takovouto množinu lze proto popsat rovnicí
resp. ekvivalentně
Tato situace je podrobně znázorněna na obrázku č. 5.4.
Rovnice elipsy má tvar
kde $a$ a $b$ jsou kladné parametry a $A = (c_1,c_2)$ je střed elipsy. Parametry $a$ a $b$ udávají délku hlavní a vedlejší poloosy. Pokud je $a=b$, dostáváme samozřejmě kružnici o poloměru $a$. Ilustrace typické elipsy je na obrázku č. 5.5.
Pokud chceme elipsu, resp. kružnici, explicitně vyjádřit pomocí parametrizace, stačí si vzpomenout na definici funkcí $\sin$ a $\cos$ využívající jednotkové kružnice.
Kružnice se středem v bodě $C = (c_1, c_2)$ a poloměrem $r$ je množina bodů
Při této volbě s parametrem $t$ měnícím se od $0$ do $2\pi$ obíháme kružnici proti směru hodinových ručiček a začínáme i končíme v bodě $(c_1 + r, c_2)$.
Podobně, pro elipsu se středem v bodě $(c_1, c_2)$ a poloosami $a,b$ rovnoběžnými se souřadnými osami máme vyjádření
5.3.1 Ohniska
V případě kružnice jsme uvedli pěkné geometrické vyjádření: jde o body, která jsou od zadaného bodu (středu) stejně daleko. Existuje podobný popis i v případě elipsy? Co za geometrickou podmínku je skryto v rovnici (5.7)? Tato podkapitola se bude těmito otázkami zabývat a je v jistém smyslu bonusová. Doplňuje ale předchozí text, kde zejména rovnice (5.7) se může pozornému čtenáři zdát jako málo motivovaná.
Na otázky v předchozím odstavci lze uspokojivě odpovědět následujícím způsobem. Ukážeme, že elipsu lze popsat jako množinu bodů v rovině, jejichž součet vzdáleností od dvou zadaných bodů $E = (E_1, E_2)$ a $F = (F_1, F_2)$ je roven předepsané hodnotě $2a$. O bodech $E$ a $F$ mluvíme jako o ohniscích této elipsy. Zde $a$ je kladný parametr, jehož význam odhalíme záhy, a multiplikativní faktor $2$ je zvolen čistě z konvenčních důvodů. Takováto množina bodů $P$ v rovině je popsána rovnicí
Než se pustíme do rozboru této rovnice, tak si ulehčíme práci, resp. přejdeme do speciálního souřadného systému (viz obrázek č. 5.6):
Za počátek $O$ zvolíme bod ležící přesně uprostřed úsečky $EF$ (mezi body $E$ a $F$), tzv. střed elipsy.
Vodorovná osa $x$ nechť prochází body $E$ a $F$.
Svislá osa $y$ nechť je kolmá na osu $x$ a prochází bodem $O$.
Jednotky na osách zvolme tak, že vzdálenost $O$ od $E$ (i $F$) je rovna hodnotě $c > 0$.
Zdůrazněme, že toto zjednodušení nepředstavuje újmu na obecnosti. Je to i důvod, proč se typicky ve školách zkoumají jen elipsy s poloosami rovnoběžnými se souřadnými osami. Nikdy vás nezajímalo, jestli to není moc velké omezení?
V takto zavedeném souřadném systému (viz opět obrázek č. 5.6) má bod $E$ souřadnice $(-c,0)$ a bod $F$ souřadnice $(0,c)$. Rovnici (5.8) lze tak pro bod $P$ o souřadnicích $(x,y)$ rozepsat explicitně jako rovnici
Obě strany této rovnice jsou nezáporné a proto je tato podmínka po umocnění a jednoduchých úpravách ekvivalentní podmínce
Levá strana této rovnice je nezáporná a proto aby vůbec mohla tato rovnice mít řešení, vyžadujeme $2a^2 > c^2 > 0$ a dále se zabýváme pouze těmi body $(x,y)$ pro které platí $2a^2 - c^2 \geq x^2 + y^2$, tj. těmi uvnitř disku o poloměru $\sqrt{2a^2 - c^2}$ a středu v $O$. Za těchto předpokladů bude umocnění poslední rovnice stále ekvivalentní úprava a po jednoduché algebře získáme rovnici
resp.
tedy rovnici elipsy se středem v bodě $O$ a hlavní poloosou délky $a$ a vedlejší poloosou délky $b \ceq \sqrt{a^2 - c^2}$.
