Nejjednodušším geometrickým útvarem (mimo bod samotný) je přímka.
K úplnému popsání přímky $p$ stačí zadat bod $A = (A_1, A_2) \in \mathbb{R}^2$, kterým přímka prochází, a směr, ve kterém přímka běží, tedy nenulový vektor $\vec a = (a_1, a_2)$.
Přímka $p$ je pak tvořena všemi body se souřadnicemi
\begin{equation}\label{eqRcePrimky}\tag{5.3}
(x,y) = A + t\cdot\vec a, \quad t\in\R,
\end{equation}
případně po složkách
\begin{align*}
x &= A_1 + t a_1, \\
y &= A_2 + t a_2, \quad t \in \R.\end{align*}
Číslu $t$ se říká parametr, neboť parametrizuje body na přímce.
Všimněme si, že omezíme-li množinu, ze které bereme hodnoty $t$, dostaneme pouze části přímky.
Například pro $t \in \langle 0,+\infty)$ dostáváme polopřímku začínající v bodě $A$ a mířící ve směru $\vec a$, zatímco pro $t\in\langle 0,1 \rangle$ dostaneme
úsečku spojující body $A$ a $A + \vec a$.
Tento explicitní způsob zadání přímky, tj. pomocí rovnice (5.3), se často nazývá parametrické vyjádření přímky (dle dříve zmíněného jde o explicitní vyjádření).
Zmiňme nyní alternativní implicitní způsob popisu přímky.
Přímka je tvořena všemi body se souřadnicemi $(x,y)$, které splňují rovnici přímky
\begin{equation}\label{eqRceprimky}\tag{5.4}
ax + by + c = 0.
\end{equation}
Konstanty $a,b,c$ jsou parametry dané přímky.
V rovnici (5.4) vystupují symboly $x$ a $y$ jako neznámé.
Bod $(\alpha,\beta)$ na zadané přímce leží, právě když po dosazení $\alpha$ za $x$ a $\beta$ za $y$ do (5.4) dostaneme pravdivou rovnost ($0=0$).
Rozeberme konkrétněji příklad přímky $p$ zadané rovnicí
\begin{equation}\label{eqPrimkaEx2}\tag{5.5}
x - 2y + 1 = 0.
\end{equation}
Bod $(1,2)$ na přímce $p$ neleží, protože po dosazení do (5.5) dostáváme $-2 = 0$, což není pravda.
Naopak body $(-1,0)$ a $(0,1/2)$ po dosazení dávají $0=0$ a na přímce tedy leží.
Dva body nám stačí k načrtnutí přímky.
V rovnici (5.4) je vektor $(a,b)$ normálovým vektorem, tedy vektorem kolmým na její směrový vektor, který v tomto případě lze volit74 například jako $(b, -a)$.
Předpokládáme, že čtenář umí přecházet od parametrického popisu přímky k její
rovnici a naopak.
\begin{equation*}
p: ax + by + c = 0
\end{equation*}
a bod $A = (A_1, A_2)$.
Pojďme použít naše geometrické a analytické schopnosti a odvoďme75 vzorec pro vzdálenost bodu $A$ od přímky $p$, ozn. pro účely této sekce jako $d$, který asi znáte ve tvaru
\begin{equation}\label{eqVzdalenostBodu}\tag{5.6}
d = \frac{|a A_1 + b A_2 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.
\end{equation}
V čitateli je absolutní hodnota výrazu na pravé straně rovnice přímky $p$, kde jsme za proměnné $x$ a $y$ dosadili souřadnice bodu $A$ a v čitateli je norma (délka) normálového vektoru přímky $p$.
Dále si všimněte, že pokud bod $A$ na přímce $p$ leží, pak ihned dostáváme $d=0$.
Tuto vlastnost by náš vzorec jistě měl mít.
Otázka
5.4
Může být jmenovatel ve vzorci (5.6) nulový? Pokud ano, kdy? Pokud ne, proč?
Nulový být nemůže, v tom případě by odpovídající rovnice byla tvaru $c=0$, což v rovině představuje buď prázdnou množinu, nebo celou rovinu. Ani v jednom případě nejde o přímku.
Nejprve sestrojme přímku $q$, která prochází bodem $A$ a je kolmá na přímku $p$.
To je snadné, navíc pro lepší orientaci k dispozici obrázek č. 5.3:
normálovým vektorem přímky $p$ je vektor $\vec n_p = (a,b)$, takže za normálový vektor přímky $q$ vezmeme například vektor $\vec n_q \ceq (b, -a)$, který je očividně kolmý na $\vec n_p$,
dále konstantní člen v rovnici přímky $q$ zvolíme tak, aby náš bod $A$ na přímce ležel.
Tyto dva požadavky okamžitě, takřka bez přemýšlení, dávají rovnici příky $q$ ve tvaru
\begin{equation*}
q: b x - a y - b A_1 + a A_2 = 0.
\end{equation*}
Dále spočteme průnik přímky $p$ a $q$, který je na obrázku č. 5.3 označen symbolem $P$.
Neznámé souřadnice tohoto bodu $P$, označme je sugestivně $(x,y)$, musí splňovat jednoduchou soustavu dvou rovnic (tj. současně ležet na přímce $p$ i $q$):
\begin{align*}
ax + by &= -c, \\
bx - ay &= b A_1 - a A_2.\end{align*}
Tuto soustavu je jednoduché vyřešit.
Vynásobíme-li první rovnici $a$ a druhou $b$, tak po jednoduché úpravě dostaneme
\begin{equation*}
x = \frac{1}{a^2 + b^2}(-ac + b^2 A_1 - ab A_2).
\end{equation*}
Podobně vynásobením první $b$ a druhé $-a$ dostaneme
První rovnost je pouze vzorec pro Euklidovskou vzdálenost dvou bodů.
Následně jsme dosadili námi napočtené souřadnice $x$ a $y$ bodu $P$ a vytknuli opakující se výraz $\frac{1}{a^2+b^2}$.
Poté jsme provedli roznásobění a přeuspořádání členů a nakonec jsme odmocnili (opět nezapomínejte na fakt $\sqrt{z^2} = |z|$, $z \in \R$).
Obrázek 5.3: K odvození vzorce pro vzdálenost bodu $A$ od přímky $p$.
