5.1 Základní pojmy
Připomeňme, jak lze pomocí rovnic a funkcí popisovat geometrické objekty v rovině. Poprvé jsme se tohoto tématu dotkli v okamžiku, kdy jsme začali uvažovat o grafu funkce (viz rovnici (4.3)). Tento přístup ke geometrii je velmi užitečný a nachází řadu uplatnění ve fyzice a aplikované matematice. Pro naše FIT účely snad jen zdůrazněme, že výstupní periferie drtivého množství elektronických zařízení jsou v podstatě dvourozměrné (monitory, papír, projektory atd.) a jakákoliv práce s počítačovou grafikou stojí na tomto analytickém přístupu ke geometrii.
5.1.1 Bod
Uvažme v rovině pravoúhlý souřadný systém s osami $x$, $y$ a počátkem69 $O$. Bod v této rovině je popsán dvěma čísly nazývanými souřadnice bodu. Vyzývám čtenáře, aby se nad tímto krátkým konstatováním na chvilku zamyslel. Ve skutečnosti jde o klíčovou a velmi mocnou myšlenku. Idealizovaný bod (geometrický objekt) popisujeme pomocí dvojice čísel (čistě abstraktní konstrukt). V podstatě provádíme „digitalizaci geometrie“, bez slovíček cizího původu bychom mohli mluvit o jakémsi „zčíselnění“.
Má-li například bod $A$ souřadnice $(1,2)$, píšeme70 $A = (1,2)$, případně lze použít i hranaté závorky, $A = [1,2]$. Bod $A$ leží na průsečíku přímky rovnoběžné s osou $y$ procházející bodem $(1,0)$, tj. přímky s rovnicí $x = 1$, a přímky rovnoběžné s osou $x$ procházející bodem $(0,2)$, tj. přímky s rovnicí $y = 2$. Podrobně je tato situace znázorněna na obrázku č. 5.1.
Z Pythagorovy věty snadno odvodíme vzdálenost dvou bodů $A = (A_1, A_2)$ a $B = (B_1, B_2)$. Tuto vzdálenost nazýváme Euklidovskou vzdáleností a značíme ji $|AB|$, nebo $\mathrm{dist}(A, B)$. Platí
5.1.2 Analytický popis geometrických objektů v rovině
Jakmile jsme schopni body v rovině popisovat pomocí čísel, můžeme se pokusit množiny bodů v rovině popsat pomocí podmínek nakladených na jejich souřadnice.
Vezměme nejprve velmi jednoduchý, konkrétní a čtenáři jistě známý příklad přímky. Když nám někdo řekne, že máme přímku zadanou rovnicí $y = 2x+1$, pak tím vlastně říká, že v naší rovině $\mathbb{R}^2$ ho zajímá množina bodů
tedy v tomto případě graf lineární funkce $f(x) = 2x+1$. Slovně, v rovnici (5.1) jde o množinu všech bodů se souřadnicemi $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, které splňují rovnost $y = 2x + 1$. Bod o souřadnicích $(1,1)$ do této množiny nepatří (neleží na této přímce), protože po dosazení do naší podmínky dostaneme rovnost $1 = 3$, která neplatí. Naopak bod $(1,3)$ do naší množiny patří (na této přímce leží), protože po dosazení do dané rovnice dostaneme rovnost $3 = 3$, která je pravdivá.
Připomeňme graf libovolné funkce $f: A \to \mathbb{R}$ je přesně množina bodů
Tento přístup lze dále zobecnit. Pomocí funkcí samotných bychom snadno nepopsali další jednoduché geometrické objekty (jako například kružnice – na to bychom potřebovali funkce dvě). Můžeme uvažovat množiny tvaru
kde $F(x,y)$ je zadaný výraz ve dvou proměnných $x,y$. Například kružnici se středem v bodě $(0,0)$ a poloměrem $2$ lze popsat rovnicí $x^2 + y^2 = 4$, formálně tedy jde o množinu
Další možné zobecnění spočívá v přechodu od rovnic k nerovnicím. Díky tomu můžeme popisovat i další typy objektů jako například pravá polorovina ($x \geq 0$), kruh se středem v bodě $(0,0)$ a poloměrem $2$ ($x^2 + y^2 \leq 4$).
Tento popis částí roviny bychom mohli nazvat implicitní. To z toho důvodu, že souřadnice bodů do popisovaného útvaru patřících ihned neznáme, musíme je nalézt. Body v rovině bychom ale mohli popisovat i explicitně následujícím způsobem
kde $J$ je zadaný interval a $f$, $g$ zadané funkce. Proměnnou $t$ většinou nazýváme parametrem. Říkáme, že jsme množinu $M$ „parametrizovali“. K nalezení bodů patřících do množiny $M$ prostě stačí příslušná $t \in J$ dosazovat do $f$ a $g$ a konstruovat tak body množiny $M$.
Ukažme si tento přístup opět na kružnici o poloměru $2$ se středem v bodě $(0,0)$:
Na levé straně této rovnosti máme tuto kružnici popsanou implicitně, na pravé explicitně.
Každý z těchto přístupů má různé výhody a nevýhody. Řadu základních geometrických objektů (viz dále) lze popsat oběma způsoby. Explicitní popis se hodí, když chceme daný útvar vizualizovat pomocí počítače. Implicitní tvar je zase výrazně efektivnější pro zjišťování, zda daný bod do daného útvaru patří, nebo ne. V praxi se často používá obou přístupů, nejde jeden zahodit na úkor druhého.
5.1.3 Vektor
Dalším důležitým geometrickým objektem je vektor. Vektory jsou z počátku často označovány malým písmenem se šipkou, např. $\vec a,\, \vec b,\, \vec c$. Tato notace však z dobrých důvodů velmi rychle vezme za své, zde se jí ale zatím ještě budeme držet. Vektor chápeme jako dvojici čísel71 udávající směr; je-li dán vektor $\vec a = (a_1,a_2)$, pak čísla $a_1$ a $a_2$ nazýváme složkami vektoru $\vec a$. Vektory můžeme násobit číslem a sčítat podle předpisů
O operacích násobení číslem a sčítání vektorů zavedených v (5.2) se někdy ze zřejmých důvodů říká, že působí „po složkách“. Rovnost mezi vektory je definována intuitivně. Řekneme, že dva vektory $\vec a = (a_1,a_2)$ a $\vec b = (b_1,b_2)$ jsou si rovny, právě když se jejich složky rovnají, tedy když $a_1 = b_1$ a $a_2 = b_2$. Tuto rovnost pak přirozeně zapisujeme jako $\vec a = \vec b$. Geometrická interpretace operací násobení číslem a sčítání vektorů je znázorněna na obrázku č. 5.2.
Vektor můžeme násobit číslem. Můžeme násobit dva vektory mezi sebou? K tomuto účelu slouží skalární součin72. Standardní73 skalární součin dvou vektorů $\vec a = (a_1, a_2)$ a $\vec b = (b_1,b_2)$ je definován předpisem
Součin se nazývá skalární, protože jeho výsledkem není vektor, ale číslo (skalár). Skalární součin dále souvisí s úhlem mezi vektory. Dva vektory $\vec a$ a $\vec b$ svírají úhel $\alpha \in \langle 0,\pi)$, právě když
Délka vektoru $\vec a = (a_1, a_2)$ je opět dána pomocí Pythagorovy věty. Značíme ji $\| \vec a \|$ a platí
Všimněme si, že tuto „Euklidovskou“ délku lze vyjádřit pomocí standardního skalárního součinu jako $\| \vec a \| = \sqrt{\vec a \cdot \vec a}$.
Těmito a dalšími geometrickými objekty se budete podrobněji zabývat v předmětu BI-LA1 a BI-LA2, a to nejen ve dvou dimenzích.