Pro účely tohoto opakovacího textu budeme pod pojmem „funkce“ chápat následující:
Mějme neprázdnou množinu reálných čísel $A \subset \mathbb{R}$. Reálnou funkcí reálné proměnné (zkráceně funkcí) $f$ rozumíme jednoznačný způsob jak každému číslu $x$ z množiny $A$ přiřadit reálné číslo $f(x)$. Takovouto funkci značíme $f\colon A \to \mathbb{R}$. Je-li $a \in A$ a přiřazuje-li mu funkce $f$ číslo $b = f(a)$, pak o čísle $a$ mluvíme jako o vzoru čísla $b$ a o $b$ jako o obrazu čísla $a$ vzhledem k funkci $f$. O $f(a)$ také mluvíme jako o funkční hodnotě funkce $f$ v bodě $a$.
Důležitost pojmu funkce asi ani nelze dostatečně zdůraznit. Hned po pojmu „množina“ půjde v našem nadcházejícím studiu o důležitý stavební kámen (ještě důležitější bude obecnější „zobrazení“, ale tím se budeme zabývat v BI-DML). Důvod by měl být nasnadě. Množiny jsou ze své podstaty „statické“ objekty. Jakmile chceme popisovat změnu, dynamické procesy, či jinak manipulovat s prvky množin, přirozeně jsme vedeni ke konceptu funkce.
Uvažme množinu $A = \langle -1,1 \rangle$. Pokusme se zadat funkci $g$ následujícím způsobem: „ke každému $x$ z množiny $A$ přiřaďme reálné $y$ splňující $x^2 + y^2 = 1$“. Je tímto způsobem jednoznačně zadána funkce $g: A \to \mathbb{R}$? Mějme tedy $x \in A$. Ptáme se, je-li $y \in \mathbb{R}$ podmínkou $x^2 + y^2 = 1$ zadáno jednoznačně. Tato podmínka je ekvivalentní rovnosti
Pokud $x \in A$ pak $1 - x^2 \geq 0$ a rovnice (5.1) má proto dvě řešení (pro $x \neq \pm 1$)
Které $y$ si máme vybrat? Toto není jednoznačný způsob přiřazení o kterém se mluví v definici funkce. Způsobem popsaným na začátku tohoto příkladu tedy nelze sestrojit funkci. Musíme zadání lehce upravit.
Uvažme množinu $A = \langle -1,1 \rangle$. Pokusme se zadat funkci $g$ následujícím způsobem: „ke každému $x$ z množiny $A$ přiřaďme nezáporné reálné $y$ splňující $x^2 + y^2 = 1$“. Je tímto způsobem jednoznačně zadána funkce $g: A \to \mathbb{R}$? Ze začátku lze postupovat stejně jako v předchozím příkladu. Ovšem v okamžiku kdy máme vyřešit rovnici (5.1) vzhledem k $y$ pro zadané $x \in A$ si stačí uvědomit, že tato rovnice má v tomto případě právě jedno nezáporné řešení
Toto $y$ je obrazem zadaného $x \in A$. Definice funkce $g$ uvedená na začátku tohoto příkladu je tedy v pořádku a my ji po této úvaze můžeme zapsat explicitněji:
kde definičním oborem této funkce je $D_g = A = \langle -1,1 \rangle$.
Mějme neprázdnou množinu reálných čísel $A \subset \mathbb{R}$. Reálnou funkcí reálné proměnné (zkráceně funkcí) $f$ rozumíme jednoznačný způsob jak každému číslu $x$ z množiny $A$ přiřadit reálné číslo $f(x)$. Takovouto funkci značíme $f\colon A \to \mathbb{R}$. Je-li $a \in A$ a přiřazuje-li mu funkce $f$ číslo $b = f(a)$, pak o čísle $a$ mluvíme jako o vzoru čísla $b$ a o $b$ jako o obrazu čísla $a$ vzhledem k funkci $f$. O $f(a)$ také mluvíme jako o funkční hodnotě funkce $f$ v bodě $a$.
Mějme neprázdnou množinu reálných čísel $A \subset \mathbb{R}$. Reálnou funkcí reálné proměnné (zkráceně funkcí) $f$ rozumíme jednoznačný způsob jak každému číslu $x$ z množiny $A$ přiřadit reálné číslo $f(x)$. Takovouto funkci značíme $f\colon A \to \mathbb{R}$. Je-li $a \in A$ a přiřazuje-li mu funkce $f$ číslo $b = f(a)$, pak o čísle $a$ mluvíme jako o vzoru čísla $b$ a o $b$ jako o obrazu čísla $a$ vzhledem k funkci $f$. O $f(a)$ také mluvíme jako o funkční hodnotě funkce $f$ v bodě $a$.