4.1 Co je to funkce?
Pro účely tohoto opakovacího textu budeme pod pojmem „funkce“ chápat následující:
Definice 4.1 (Reálná funkce reálné proměnné)
Mějme neprázdnou množinu reálných čísel $A \subset \mathbb{R}$. Reálnou funkcí reálné proměnné (zkráceně funkcí) $f$ rozumíme jednoznačný způsob jak každému číslu $x$ z množiny $A$ přiřadit reálné číslo $f(x)$. Takovouto funkci značíme $f: A \to \mathbb{R}$. Je-li $a \in A$ a přiřazuje-li mu funkce $f$ číslo $b = f(a)$, pak o čísle $a$ mluvíme jako o vzoru čísla $b$ a o $b$ jako o obrazu čísla $a$ vzhledem k funkci $f$. O $f(a)$ také mluvíme jako o funkční hodnotě funkce $f$ v bodě $a$.
Důležitost pojmu funkce asi ani nelze dostatečně zdůraznit. Hned po pojmu „množina“ půjde v našem nadcházejícím studiu o důležitý stavební kámen (ještě důležitější bude obecnější „zobrazení“, ale tím se budeme zabývat v BI-DML). Důvod by měl být nasnadě. Množiny jsou ze své podstaty „statické“ objekty. Jakmile chceme popisovat změnu, dynamické procesy, či jinak manipulovat s prvky množin, přirozeně jsme vedeni ke konceptu funkce.
Příklad 4.1
Uvažme množinu $A = \langle -1,1 \rangle$. Pokusme se zadat funkci $g$ následujícím způsobem: „ke každému $x$ z množiny $A$ přiřaďme reálné $y$ splňující $x^2 + y^2 = 1$“. Je tímto způsobem jednoznačně zadána funkce $g: A \to \mathbb{R}$? Mějme tedy $x \in A$. Ptáme se, je-li $y \in \mathbb{R}$ podmínkou $x^2 + y^2 = 1$ zadáno jednoznačně. Tato podmínka je ekvivalentní rovnosti
Pokud $x \in A$ pak $1 - x^2 \geq 0$ a rovnice (4.1) má proto dvě řešení (pro $x \neq \pm 1$)
Které $y$ si máme vybrat? Toto není jednoznačný způsob přiřazení o kterém se mluví v definici funkce. Způsobem popsaným na začátku tohoto příkladu tedy nelze sestrojit funkci. Musíme zadání lehce upravit.
Příklad 4.2
Uvažme množinu $A = \langle -1,1 \rangle$. Pokusme se zadat funkci $g$ následujícím způsobem: „ke každému $x$ z množiny $A$ přiřaďme nezáporné reálné $y$ splňující $x^2 + y^2 = 1$“. Je tímto způsobem jednoznačně zadána funkce $g: A \to \mathbb{R}$? Ze začátku lze postupovat stejně jako v předchozím příkladu. Ovšem v okamžiku kdy máme vyřešit rovnici (4.1) vzhledem k $y$ pro zadané $x \in A$ si stačí uvědomit, že tato rovnice má v tomto případě právě jedno nezáporné řešení
Toto $y$ je obrazem zadaného $x \in A$. Definice funkce $g$ uvedená na začátku tohoto příkladu je tedy v pořádku a my ji po této úvaze můžeme zapsat explicitněji:
kde definičním oborem této funkce je $D_g = A = \langle -1,1 \rangle$.
Mluvíme-li o funkcích je velmi často potřebné souhrnně mluvit o zobrazovaných objektech a možných funkčních hodnotách.
Definice 4.2
Mějme funkci $f: A \to \mathbb{R}$ ve smyslu definice 4.1. O množině $A$ mluvíme jako o definičním oboru a značíme ji $D_f$. Množinu
nazýváme oborem hodnot funkce $f$.
Připomeňme význam symbolického zápisu použitého v rovnici (4.2). Množina $H_f$ je tvořena všemi reálnými $b$ pro které existuje $a$ z definičního oboru funkce $f$ splňující $f(a) = b$. Definiční obor funkce $f$ také občas značíme bez indexu, tj. $D(f)$.
Na tomto místě upozorněme na jeden často se u studentů vyskytující omyl. Je-li dána funkce $f: A \to \mathbb{R}$, pak $\mathbb{R}$ nemusí nutně být obor hodnot této funkce $f$. Například funkce $\sin$, o které se budeme bavit dále, je ve smyslu notace z definice 4.1 funkce $\sin: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Její obor hodnot je ovšem množina $H_{\sin} = \langle -1,1 \rangle$. Což jistě není celá reálná osa.
Čtenář je jistě zvyklý zadávat $f(x)$ pomocí explicitního vzorce udávajícího, jaké operace je potřeba s (reálným) číslem $x$ provést, abychom získali jeho obraz $f(x)$. Toto není jediný způsob zadání funkce $f$. Na další způsoby narazíme později během studia. Je-li takto zadán funkční předpis (vzorec) bez dalšího komentáře, pak množinu všech reálných $x$, pro která má $f(x)$ smysl jakožto reálné číslo, nazýváme maximálním53 definičním oborem takovéto funkce $f$.
Například zápisem $f(x) = x^2 + 3x$ máme pro každé reálné $x$ jednoznačné $f(x)$, které získáme provedením uvedených operací (zde vynásobením $x$ sama se sebou a přičtením trojnásobku $x$). Pokud není řečeno jinak, je tato funkce definovaná na největší možné množině reálných čísel, kde má uvedený předpis smysl, zde tedy $D_f = \mathbb{R}$.
Je dobré neztotožňovat „vzorec“ a „funkci“. Funkce lze zadat mnoha dalšími způsoby, jak si zanedlouho ukážeme. Také je dobré si uvědomit, že některé vzorce jsou v podstatě v tento okamžik „podvodné“ a středoškolská matematika nám mnoho neříká o skutečném výpočtu. Jak například spočteme hodnotu $\sqrt{x}$, nebo $\sin(x)$? Pro konkrétní hodnoty $x$ lze k výpočtu použít kalkulačku nebo počítač, ale jak tyto stroje spočtou tyto hodnoty a spočtou je přesně? I tím se budeme zabývat v BI-MA1 a BI-MA2.
Příklad 4.3
Uveďme ještě alespoň jeden příklad. Dejme tomu, že je zadána funkce předpisem
bez jakéhokoliv komentáře o definičním oboru. Označení nezávisle proměnné $z$ by nás nemělo nijak děsit, i to se může stát. Jejím definičním oborem je tedy výše zmíněný maximální definiční obor. Ten musíme nalézt. Argument druhé odmocniny musí být nezáporný, tedy $z$ patřící do definičního oboru funkce $h$ musí splnit
Součin dvou reálných čísel je nezáporný, právě když jsou obě daná čísla nezáporná nebo nekladná. Aby $z$ patřilo do $D_h$ musí tedy platit $z \geq 2$ a současně $z \geq 1$ (tj. $z \geq 2$) nebo $z \leq 2$ a současně $z \leq 1$ (tj. $z \leq 1$). Maximálním definičním oborem naší funkce $h$ proto je množina
Příklad 4.4
Ne každý vzoreček zadává funkci. Například ani jeden z výrazů
nemá dobrý smysl54 pro žádné reálné $x$.
K znázornění funkce lze použít její graf. Zavedeme-li v rovině dvě pravoúhlé souřadné osy označované standardně $x$ (vodorovná osa, nezávisle proměnná) a $y$ (svislá osa, závisle proměnná), pak grafem funkce $f$ nazýváme množinu bodů $(x,y) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ splňujících $y = f(x)$. Klademe tedy
Občas také používáme symbol $\Gamma_f$, kde $\Gamma$ je velké řecké písmenko gama. „Znázornění“ zmíněné na začátku tohoto odstavce tedy spočívá v obarvení bodů v rovině, které mají souřadnice $(x, f(x))$, kde $x \in D_f$, v těchto bodech je zachyceno působení funkce $f$ na bodech $x \in D_f$.
Nyní se budeme věnovat několika typům a druhům známých funkcí. Přehled vlastností mnoha elementárních funkcí a jejich vlastností lze nalézt např. v knížce (Bartsch, 2000) nebo na stránce (NIST Digital Library of Mathematical Functions, b.r.).
4.1.1 Vlastnosti funkcí
Abychom mohli snadno mluvit o chování funkcí, vyplatí se zavést několik užitečných pojmů. Podle růstu rozlišujeme následující typy:
Definice 4.3
Funkce $f$ s definičním oborem $D_f \subset \mathbb R$ je na intervalu $A \subset D_f$
rostoucí, jestliže $(\forall x,y \in A)\big(x < y \Rightarrow f(x) \leq f(y)\big)$, slovně: jestliže pro každé $x$ a $y$ z množiny $A$ platí, že je-li $x < y$ pak $f(x) \leq f(y)$,
ostře rostoucí, jestliže $(\forall x,y \in A)\big(x < y \Rightarrow f(x) < f(y)\big)$,
klesající, jestliže $(\forall x,y \in A)\big(x < y \Rightarrow f(x) \geq f(y)\big)$,
ostře klesající, jestliže $(\forall x,y \in A)\big(x < y \Rightarrow f(x) > f(y)\big)$,
monotonní, jestliže je rostoucí nebo klesající,
ryze monotonní, jestliže je ostře rostoucí nebo ostře klesající.
Zde opět čtenáře upozorňujeme na poznámku 3.1. Námi používané názvosloví není příliš v naší zemi rozšířené, používá se spíše v anglosaské literatuře a terminologii. Je tedy pravděpodobnější, že na něj čtenář narazí při hledání na internetu a případném studiu anglické literatury (viz např. (Weisstein, b.r.)). To je jeden z důvodů motivujících naši volbu.
Z hlediska symetrií funkcí rozlišujeme funkce sudé, liché a periodické.
Definice 4.4
Funkce $f$ se nazývá
sudá, jestliže $(\forall x \in D_f)((-x \in D_f) \ \text{a} \ (f(-x) = f(x)))$,
lichá, jestliže $(\forall x \in D_f)((-x \in D_f) \ \text{a} \ (f(-x) = -f(x)))$,
periodická s periodou $T > 0$, jestliže $(\forall x \in D_f)((x + T \in D_f) \ \text{a} \ (f(x) = f(x + T)))$.
Graf sudé funkce je osově symetrický vůči ose $y$. Graf liché funkce je bodově symetrický vůči počátku souřadnic. Funkční hodnota periodické funkce v bodě $x$ se nezmění s posunutím o $T$ do bodu $x+T$. Tato geometrická interpretace těchto vlastností je názorně vidět na obrázku 4.1.
4.1.2 Prostá funkce
Dále na tomto místě připomeňme pojem prosté funkce.
Definice 4.5
Funkci $f: D_f \to \R$ nazýváme prostou, právě když pro každá dvě různá čísla $a$ a $b$ z definičního oboru funkce $f$ jsou i jejich funkční hodnoty $f(a)$ a $f(b)$ různé. Ekvivalentně zapsáno symbolicky,
Alternativně lze požadavek v definici přeformulovat takto: funkce $f$ je prostá, právě když pro každá dvě čísla $a,b \in D_f$ splňující $f(a) = f(b)$ platí $a = b$. O prostých funkcích také mluvíme jako o injektivních funkcích.
Příklad 4.5
Například funkce $f(x) = x^2$ definovaná na celém $\R$ není prostá. Není splněn požadavek v definici, stačí zvolit dvě očividně různá čísla $a = 1$ a $b = -1$ pro která platí $f(1) = f(-1)$. V tomto odstavci jsme vyvrátili prostotu funkce $f$ protipříkladem.
Naproti tomu funkce $g(x) = x^3$ definovaná na celém $\R$ už prostá je. Skutečně, vezměme dvě $a,b \in \R$ splňující $g(a) = a^3 = b^3 = g(b)$. Plyne odtud55 rovnost $a = b$? Z předpokladu použitím známého algebraického vzorce (viz větu 2.3) plyne rovnost
Výraz v druhé závorce je nulový právě tehdy když $a = b$. O tom se můžeme přesvědčit úpravou na čtverec:
Pokud je alespoň jedno z $a,b$ nenulové, pak z (4.4) nutně plyne $a = b$. Tím je prostota funkce $g$ dokázána.
Poznámka 4.1
Mezi časté studentské mýty patří tvrzení: funkce $f$ je prostá, právě když každý vzor má právě jeden obraz. Toto tvrzení platí pro každou funkci, nevyjadřuje prostotu funkce. Je totiž vágní ve smyslu použití sousloví „právě jeden“.
4.1.3 Funkce „na“
A konečně rozlišujeme funkce, které jsou „na“, cizím slovíčkem surjektivní
Definice 4.6
O funkci $f: D_f \to \R$ říkáme, že je na, právě když jejím oborem hodnot je $\R$. Tedy když pro každé $y \in \R$ existuje $x \in D_f$ splňující $f(x) = y$.
Použití slovíčka „na“ (ve francouzštině „sur“) je vhodné, takováto funkce svůj definiční obor zobrazuje na celou cílovou množinu $\R$.
Vraťme se k příkladům funkcí v předchozí části textu.
Funkce $g(x) = x^2$ není na (není surjektivní). Všechny její funkční hodnoty jsou nezáporná reálná čísla a tak nikdy nezískáme libovolné záporné reálné číslo. Tj. $H_g = \langle 0, +\infty) \neq \R$.
Funkce $f(x) = x^3$ už na je (je surjektivní). Vzorem libovolného $y \in \R$ je $x \ceq \sqrt[3]{y}$.
Ve zbytku této kapitoly se budeme zabývat vlastnostmi konkrétních známých funkcí, případně celých tříd funkcí.