Pod pojmem množiny rozumíme sadu objektů zadanou výčtem, nebo pomocí vlastnosti, kterou musí prvky množiny splňovat29. Pokud je počet prvků malý, nebo je lze jednoduše vyjmenovat, píšeme například
Množina $A$ obsahuje právě dva prvky (čísla $\pi$ a $\ee$). Množina $B$ obsahuje všechna přirozená čísla (čtenáři musí být jasné, jaké prvky si má za tři tečky doplnit; jak vidno, tento způsob zápisu může skrývat jistá úskalí). Pokud $x$ patří do množiny $A$, píšeme $x \in A$, v opačném případě $x$ nepatří do množiny $A$ a pak symbolicky píšeme $x \notin A$. V případě množiny $A$ zavedené v (3.4) tedy platí tvrzení $\pi \in A$, ale tvrzení $1 \in A$ už není pravdivé. Naopak $1 \notin A$ je pravdivé.
Symbol $\in$ je stylizované řecké písmenko $\varepsilon$. V uvedeném zápisu je totiž prvek $a$ elementem množiny $A$.
Prázdnou množinu, tj. množinu neobsahující žádné prvky, označujeme symbolem $\emptyset$. Pomocí výčtového zápisu množiny uvedeného výše můžeme psát
Prázdná množina je tedy dle definice množina, které neobsahuje žádné prvky.
Naopak ovšem množina $\{\emptyset\}$ je množina obsahující prázdnou množinu, $\emptyset \in \{\emptyset\}$, a není proto prázdná, tj. $\{\emptyset\} \neq \emptyset$.
Lidé občas také zaměňují symbol pro prázdnou množinu, $\emptyset$, se symbolem pro číslo nula, $0$.
Tento zvyk často pramení ze zobrazení nuly v některých programovacích fontech s více méně svislým vnitřním proškrtnutím, aby nedošlo ke zmatení s velým písmenkem „O“.
I náš font pro sazbu kódu toho využívá: 0.
V matematice tento způsob zápisu nedoporučuji používat, protože pak právě nastává kolize ve vašem značení (máte jeden symbol pro různé věci).
Situace se dále může výrazně komplikovat v momentě, kdy do hry vstoupí řecké písmenko $\phi$ …
Je ovšem pravda, že počet prvků množiny $\emptyset$ je $0$.
Ale $0$ není prázdná množina (je to číslo!), ani $\emptyset$ není $0$, tj. $0 \neq \emptyset$.
Je-li $N$ množina a $A(x)$ výrok o prvku $x$ z množiny $N$ pak množina
je tvořena všemi $x\in N$, pro které je výrok $A(x)$ pravdivý. Zde $A(x)$ označuje tvrzení, jehož pravdivost či nepravdivost závisí na hodnotě proměnné $x$. Jako příklad můžeme uvést $N = \Z$ a $A(x)$ nechť je tvrzení „$x$ je sudé číslo“. Potom $A(2)$ je pravda ale $A(3)$ nikoliv. V tomto případě často mluvíme o zadání množiny pomocí vlastnosti (predikátu).
Například množinu všech sudých celých čísel můžeme popsat následovně
Pomocí výčtu bychom lehce nepřehledně30 mohli psát $D = \{\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots\}$.
Množiny můžeme porovnávat podle toho, jaké obsahují prvky. O množině $A$ řekneme, že je podmnožinou množiny $B$, právě když každý prvek množiny $A$ patří také do množiny $B$. V tom případě pak píšeme $A \subset B$, nebo $B \supset A$. Vlastnost být podmnožinou představuje tzv. uspořádání mezi množinami. Toto uspořádání je neúplné v tom smyslu, že existují (snad si takové vymyslíte) množiny $A$ a $B$ pro které neplatí $A \subset B$ ani $B \subset A$.
Na tomto místě upozorněme na časté nedorozumění. Množinová inkluze (vlastnost být podmnožinou) zavedená výše není ostrá. Přesněji, pro každou množinu $A$ platí $A \subset A$. Tj. z inkluze $A \subset B$ nutně neplyne, že $B$ obsahuje nějaký prvek nepatřící do $A$.
Tato poznámka souvisí s poznámkou 3.1. V zásadě jsou dva přístupy ke značení ostré (nepřipouští rovnost) a neostré (připouští rovnost) inkluze:
$A \subset B$ značí neostrou inkluzi a $A \subsetneqq B$ značí ostrou inkluzi,
$A \subseteq B$ značí neostrou inkluzi a $A \subset B$ značí ostrou inkluzi.
V tomto textu a většině předmětů na FITu narazíte na první konvenci s tím, že symbol pro ostrou inkluzi ani nepoužíváme (v drtivé většině případů není potřeba). Vždy je dobré si v daném textu zjistit, jaká konvence se používá.
O dvou množinách $A$ a $B$ říkáme, že jsou si rovny (nebo jsou „stejné“), právě když $A \subset B$ a současně $B \subset A$. Rovnost množin přirozeně zapisujeme jako $A = B$. Toto vyjádření rovnosti nám přímo dává návod jak případně dokazovat rovnost dvou množin, stačí ověřit obě inkluze. Pokud si dvě množiny $A$ a $B$ nejsou rovné, pak tento fakt přirozeně symbolicky zapisujeme jako $A \neq B$.
Připomeňme základní operace s množinami. Máme-li dvě množiny $A$ a $B$, podmnožiny jisté množiny $X$, pak jejich průnik definujeme jako množinu všech prvků, které patří zároveň do $A$ i do $B$. Průnik dvou množin značíme symbolem $A \cap B$. Symbolicky tedy tuto množinu můžeme popsat jako
Sjednocení dvou množin $A$ a $B$ je tvořeno všemi prvky, které patří do $A$ nebo31 do $B$. Značíme ho symbolem $A \cup B$ a lze tedy psát
Tyto dvě operace lze přirozeně zobecnit na libovolný počet množin. Nechť $I$ je libovolná (tzv. indexová) množina a pro každé $i \in I$ je $A_i$ jistá množina. Potom klademe
Mějme dvě množiny obsahující čísla a geometrické objekty $A = \{1,\triangle\}$ a $B = \{2,\triangle,\square\}$. Potom platí $A \cup B = B \cup A = \{1,2,\triangle,\square\}$ a $A \cap B = B \cap A = \{\triangle\}$.
Zvolme například pro každé přirozené $i$ množiny
Množina $A_i$ je tedy otevřený interval od $1$ do $1 + \frac{1}{i}$. Určeme průnik a sjednocení všech těchto množin,
Rozmyslete!
Další důležitou množinovou operací je rozdíl. Rozdíl dvou množin $A \setminus B$ je tvořen všemi prvky množiny $A$, které nepatří do $B$. Symbolicky zapsáno
Pokud se bavíme o podmnožině $A$ jisté pevně zvolené množiny $X$, pak množinu $A^c := X \smallsetminus A$ stručně nazýváme doplňkem množiny $A$. Musí být ale předem jasné, jak je zvoleno $X$!
Pro množiny $A = (1, 3)$ a $B = \langle 2, 4)$ určete rozdíly $A \smallsetminus B$ a $B \smallsetminus A$.
Popořadě $A \smallsetminus B = (1, 2)$ a $B \smallsetminus A = \langle 3,4 )$
Mezi sjednocením, průnikem a doplňkem platí důležité vztahy zformulované v následujícím tvrzení.
Mějme $A, B \subset X$. Potom platí
Dokážeme první vztah, druhý se dokáže naprosto analogicky.
Máme dokázat rovnost dvou množin, konkrétně $(A \cap B)^c$ a $A^c \cup B^c$. V tomto případě můžeme postupovat přímo sérií ekvivalencí: prvek $x \in X$ patří do $(A \cap B)^c$ právě když (dle definice doplňku) $x$ nepatří do $A \cap B$, tedy právě když (definice průniku) $x$ nepatří do $A$ nebo nepatří do $B$. To je ovšem ekvivalentní s tím, že $x$ patří do $A^c$ nebo do $B^c$, tj. $x \in A^c \cup B^c$.
$\square$
Všimněte si, že zatímco pro libovolné dvě množiny $A$ a $B$ platí
pro rozdíl dvou množin tato vlastnost (komutativita) neplatí. Tedy obecně je množina $A \smallsetminus B$ různá od množiny $B \smallsetminus A$.
Další základní operací na množinách je kartézský součin množin32. Pro libovolné dvě množiny $A$ a $B$ je jejich kartézský součin, označujeme ho $A \times B$, tvořen všemi uspořádanými dvojicemi33 prvků z $A$ a $B$, tj. dvojicemi $(a,b)$ kde $a \in A$ a $b \in B$. O $a$ (resp. $b$) mluvíme jako o první (resp. druhé) složce uspořádané dvojice $(a,b)$. Přesněji
Kartézský součin lze zavést i pro více množin. Například pod $A \times B \times C$ rozumíme množinu všech uspořádaných trojic prvků z $A$, $B$ a $C$, atd.
Uvažme dvě množiny $A = \{1,2\}$ a $B = \{\triangle, \square, \nabla\}$. Potom množina $A \times B$ má $2 \cdot 3 = 6$ prvků a platí
Podobně $B \times A$ má $3 \cdot 2 = 6$ prvků a platí
Očividně $A \times B \neq B \times A$. Tyto množiny obsahují zcela jiné prvky.
Notoricky známým kartézským součinem je množina $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$, kterou zkráceně označujeme $\mathbb{R}^2$ a představujeme si ji jako idealizaci roviny. Využíváme ji například při vizualizaci funkcí pomocí grafů.
Pokud má množina $A$ $m$ prvků a množina $B$ $n$ prvků, kolik prvků mají množiny $A \times B$ a $B \times A$?
Obě $m \cdot n$.