3.6 Zkrácené psaní součtů a součinů

1 Úvod 2 Matematika není jen počítání 3 Základní pojmy 3.1 Poznámka k matematické notaci 3.2 Množiny a operace s nimi 3.3 Číselné množiny 3.4 Význačné podmnožiny množiny reálných čísel 3.5 Výroky a logické spojky 3.6 Zkrácené psaní součtů a součinů 3.7 Faktoriál a kombinační čísla 3.8 Významné konstanty 4 Elementární funkce 5 Analytická geometrie 6 Časté problémy 7 Přehled použitého značení Index Literatura

Látka v této kapitole je pravděpodobně pro čtenáře nová. Není však náročná, v podstatě jde o záležitost notace, s kterou je dobré se co nejdříve seznámit.

Velmi často narazíme na potřebu sčítat jistý konečný počet čísel $a_1, a_2, \ldots, a_n$, případně na potřebu diskutovat vlastnosti tohoto součtu. Místo zdlouhavého a potenciálně nejednoznačného⁵² výrazu

\begin{equation}\label{eqSouceta}\tag{3.14} a_1 + a_2 + \cdots + a_n \end{equation}

píšeme

\begin{equation*} \sum_{k=1}^n a_k. \end{equation*}

Symbol $\sum$, tedy velké písmeno sigma, pochází z řecké abecedy, kde označuje velké „s“. Je zvoleno, protože označuje součet (v češtině jde o náhodu, anglicky sum, latinsky summa). „Lokální proměnná“ $k$ se nazývá sčítací index, číslo $1$ se označuje jako dolní mez a číslo $n$ jako horní mez. Je pouze na naší volbě, jak sčítací index označíme. Například součty

\begin{equation*} \sum_{k=1}^n a_k \quad \text{a} \quad \sum_{j=1}^n a_j \end{equation*}

jsou si rovné, neboť označují stejný součet (3.14), který samozřejmě na žádném sčítacím indexu nezávisí (nevyskytuje se v něm ani $k$, ani $j$). Všimněte si ovšem, že sčítací index je vždy stejný pod symbolem sumy i ve sčítanci, naproti tomu platí

\begin{equation*} \sum_{k=1}^n a_j = \underbrace{a_j + a_j + \cdots + a_j}_{n\times} = n \cdot a_j, \end{equation*}

což je zcela něco jiného.

Díky asociativnímu a komutativnímu zákonu (viz rovnici (3.8)) platí rovnost

\begin{equation}\label{eqsum1}\tag{3.15} \sum_{k=1}^n (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k. \end{equation}

Skutečně, stačí použít asociativitu a komutativitu sčítání a vhodně přeuspořádat sčítance. Podobně díky distributivnímu zákonu (viz rovnici (3.9)) je pravdivé tvrzení

\begin{equation}\label{eqsum2}\tag{3.16} \sum_{k=1}^n (c \cdot a_k) = c \cdot \sum_{k=1}^n a_k, \end{equation}

kde $c\in\mathbb{R}$ je jistá konstanta, tedy číslo nezávislé na $k$. Tato rovnice představuje zobecnění známé operace „vytýkání před závorku“. V obou rovnicích (3.15) a (3.16) je naprosto podstatné, že dolní i horní mez je stejná.

Ukažme si tento koncept na konkrétním příkladě. Chceme mluvit o součtu všech přirozených čísel od $3$ do $10$. Zkrácený zápis je následující

\begin{equation}\label{eqsum}\tag{3.17} S = {\color{red}3} +4+5+6+7+8+9+ {\color{blue}10} = \sum_{k= {\color{red}3}}^{{\color{blue}10}} k. \end{equation}

Porovnejme tento způsob zápisu součtu s použitím for cyklu k nalezení tohoto součtu v jazyce C.

int main()
{
  int sum = 0;
  for (int k = 3; k <= 10; k++) sum += k;
  printf("Soucet je %d", sum);
  return 0;
}

K provádění výpočtů pomocí této sumační notace je dobré umět manipulovat se sčítacími indexy. Například součet $S$ v rovnici (3.17) lze zapsat také jako (sčítáme v opačném pořadí)

\begin{equation*} S = \sum_{k=1}^8 (11-k) = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3, \end{equation*}

nebo (sčítací index běží pěkně od $1$ a sčítáme ve stejném pořadí jako původně)

\begin{equation*} S = \sum_{k=1}^8 (2+k). \end{equation*}

Zdůrazněme pointu tohoto odstavce znovu. Jeden součet lze vyjádřit mnoha ekvivalentními způsoby.

Někdy se změnou mezí sčítacího indexu součet změnit nemusí, jako například zde

\begin{equation*} \sum_{k={\color{red}1}}^n k^2 = \sum_{k={\color{red}0}}^n k^2. \end{equation*}

Přidali jsme totiž jen člen odpovídající $k=0$ splňující $0^2 = 0$ a přičtení nuly nemá na výsledek vliv.

Příklad 3.10 (Gaussův trik)

Traduje se, že mladý Gauss a jeho spolužáci dostali ve škole za úkol sečíst všechna čísla od $1$ do $100$. Gauss jako jediný ve třídě dosáhl dobrého výsledku, neboť nesčítal čísla od nejmenšího k největšímu, ale všiml si, že pokud sečte první (tj. $1$) s posledním (tj. $100$), dostane součet $101$, pokud sečte druhé (tj. $2$) a předposlední (tj. $99$), dostane opět $101$. Takto může postupovat až k $50 + 51 = 101$. Graficky je tento postup znázorněn na obrázku č. 3.7. Výsledek je tedy

\begin{equation*} 50 \cdot 101 = 5050. \end{equation*}

Obecně platí, že součet čísel od $1$ do jistého přirozeného $n$ je

\begin{equation}\label{eqgauss}\tag{3.18} \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} = n \cdot \frac{n+1}{2}\,. \end{equation}

Obrázek 3.7: Gaussův trik pro sečtení prvních sto přirozených čísel.

Pomocí sumační notace je snadné Gaussovu myšlenku popsat následovně

\begin{equation*} \sum_{k=1}^{100}k = \sum_{k=1}^{50} \big( k + (101 - k) \big) = \sum_{k=1}^{50} 101 = 50 \cdot 101 = 5050. \end{equation*}

Všimněme si, že naprosto stejný trik lze použít v případě, že máme sečíst čísla od $1$ do obecného $n$:

\begin{equation*} \begin{aligned} 2 \sum_{k=1}^n k &= \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n (n+1-k) = \sum_{k=1}^n \big( k + (n + 1 - k) \big) = \\ &= \sum_{k=1}^n (n+1) = n(n+1). \end{aligned} \end{equation*}

Dostáváme tak veleznámý vzoreček (3.18).

$\square$

K dostatečnému ocenění tohoto výsledku je vhodné si uvědomit rozdíl mezi zadáním (sečíst čísla od $1$ do $100$) a výsledkem. Na levé straně rovnosti

\begin{equation*} \sum_{k=1}^{100} k = \frac{100\cdot(100+1)}{2} \end{equation*}

musíme provést celkem $99$ operací sčítání oproti jednomu sčítání, násobení a dělení na straně pravé. Proto byl Gauss jediný, kdo získal dobrý výsledek. Poznamenejme, že když budeme zvětšovat $n$, bude počet operací na levé straně stále růst, kdežto počet operací nutných k vyhodnocení Gaussova vzorečku bude stále stejný. Implementace tohoto konkrétního součtu pomocí prosté sumy by proto byla značně neefektivní. Pomocí Landauovy symboliky lze toto pozorování vyjádřit konstatováním, že výpočetní složitost součtu samotného je $\mathcal{O}(n)$ a Gaussova vzorce $\mathcal{O}(1)$. O Landauově symbolice se dozvíte na přednáškách BI-MA1.

Další součet, který jsme schopni vyjádřit explicitně bez symbolu sumy, je obsahem následujícího příkladu.

Příklad 3.11 (Součet prvních několika členů geometrické posloupnosti)

Pro každé reálné $q$ různé od $1$ a přirozené $n$ platí

\begin{equation}\label{eqGeom}\tag{3.19} \sum_{k=1}^n q^{k-1} = \frac{1-q^n}{1-q}. \end{equation}

Označme si zkoumaný výraz jako

\begin{equation*} S_n := \sum_{k=1}^n q^{k-1}, \quad n\in\N. \end{equation*}

Všimněme si, jak se tento výraz chová vzhledem k vynásobení kvocientem $q$. Konkrétně přímo z definice $S_n$ plynou vztahy

\begin{equation*} \begin{aligned} S_{n+1} &= 1 + q + q^2 + q^3 + \cdots + q^{n-1} + q^n = 1 + q\big( 1 + q + \cdots + q^{n-2} + q^{n-1} \big) = \\ &= 1 + q S_n, \\ S_{n+1} &= S_n + q^n, \end{aligned} \end{equation*}

platné pro libovolné kladné přirozené $n$. Porovnáním těchto dvou různých výrazů pro $S_{n+1}$ dostáváme rovnost

\begin{equation*} 1 + q S_n = S_n + q^n, \quad n\in\N, \end{equation*}

odkud

\begin{equation*} S_n (1-q) = 1 - q^n, \quad n\in\N. \end{equation*}

Za uvedeného předpokladu $q\neq 1$ pak ihned dostáváme dokazovaný vztah (3.19).

Alternativně bychom se také mohli odvolat na poznámku 2.4.

$\square$

Každé tvrzení může mít více důkazů, neexistuje vždy jen jeden. Důkazy se od sebe ale mohou lišit svou komplexitou a půvabností. Vzorec pro součet prvních několika členů geometrické posloupnosti bychom alternativně mohli dokázat invokováním již dokázané věty 2.3. V ní položme $a = q$ a $b = 1$. Pak tvrzení uvedené věty po vynásobení obou stran číslem $-1$ říká, že pro každé $n\in\mathbb{N}_0$ platí rovnost

\begin{equation*} 1 - q^n = (1 - q) \sum_{k=0}^{n-1} q^k. \end{equation*}

Za předpokladu $q \neq 1$ tedy dostáváme hledaný vztah

\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n-1} q^k = \frac{1-q^n}{1-q}. \end{equation*}

$\square$

Otázka 3.9

Lze se v předchozím příkladu zbavit předpokladu $q\neq 1$? Jak je případně nutné změnit formulku (3.19)?

Zobrazit odpověď

Ano, v případě $q=1$ platí $\displaystyle\sum_{k=1}^n q^{k-1} = n$.

Otázka 3.10

K procvičení základních operací se sumami vypočtěte

\begin{equation*} \sum_{k=1}^5 1, \quad\quad \sum_{k=1}^6 k - \sum_{k=1}^6 (k+1). \end{equation*}

Zobrazit odpověď

$5$, $-6$.

Otázka 3.11

Který z následujících výrazů lze bez dalšího komentáře jednoznačně interpretovat, tedy přiřadit mu jednoznačně číselnou hodnotu?

\begin{equation*} \begin{aligned} &\text{a)} \ \sum_{k}^4 k+1, & &\text{b)} \ j\sum_{j=1}^{30} 30k, \\ &\text{c)} \ \sum_{j} 2j, & &\text{d)} \ \sum_{j=1}^{2j} \sin j. \end{aligned} \end{equation*}

Zobrazit odpověď

Ani jeden ze zápisů není jednoznačný.

3.6.1 Zkrácený zápis součinu

Podobně jako součet lze zkráceně zapisovat i součin. K tomu se používá velké řecké písmeno $\prod$ (čti pí, produkt). Například součin prvních deseti přirozených čísel lze zapsat

\begin{equation*} {\color{red}1} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot {\color{blue}10} = \prod_{k= {\color{red}1}}^{{\color{blue}10}} k. \end{equation*}

S produkty se manipuluje velmi podobně jako se sumami. Jediným rozdílem je, že místo sčítání používáme násobení, jinak je myšlenka stejná. Například platí

\begin{equation*} \begin{aligned} \prod_{k=1}^n a_k \cdot b_k &= \Big( \prod_{k=1}^n a_k \Big) \cdot \Big( \prod_{k=1}^n b_k \Big), \\ \prod_{k=1}^n c \cdot a_k &= c^n \prod_{k=1}^n a_k. \end{aligned} \end{equation*}