3.4
Význačné podmnožiny množiny reálných čísel
V této kapitole připomeneme definici intervalů a uvedeme několik pojmů
popisujících vlastnosti podmnožin reálných čísel.
Intervaly představují důležité podmnožiny množiny reálných čísel. Pro , , zavádíme značení:
Podobně zavádíme neomezené intervaly , a .
Dále pro podmnožiny reálné osy zavádíme následující, skoro až očividné,
názvosloví.
Množinu nazýváme omezenou shora (resp. zdola),
právě když existuje konstanta taková, že pro každé platí (resp. ). Množinu nazýváme omezenou, právě když je omezená shora i zdola zároveň.
Například libovolný uzavřený interval je podle definice omezený shora i zdola. Skutečně pro každé jistě platí třeba a .
Množina přirozených čísel je omezená zdola (například lze volit konstantu ), ale není omezená shora (pro každé číslo existuje přirozené číslo větší než , například ).
Množina celých čísel není omezená shora ani zdola
Často potřebujeme porovnávat prvky množiny podle jejich velikosti.
Důležitou roli pak hrají největší a nejmenší prvky, tzv. maxima a minima
množiny.
Přesná definice je následující.
Nechť . Číslo nazýváme maximem množiny ,
právě když pro každé platí nerovnost . Číslo nazýváme minimem množiny , právě když pro každé platí
nerovnost . Jinak řečeno, maximum (resp. minimum) množiny reálných čísel
je její prvek, který je větší (resp. menší) nebo roven než všechny ostatní prvky
této množiny. Maximum (resp. minimum) množiny také značíme (resp. ).
Takto definované maximum (případně minimum) množiny nemusí vždy existovat.
Například interval nemá ani minimum, ani maximum. Čísla ani skutečně nepatří do množiny . S tímto faktem se občas studenti odmítají
smířit, ale je tomu skutečně tak. Kdyby existovalo maximum množiny ,
označme si ho , pak by toto nutně muselo splňovat (jinak by
do uvedeného intervalu nepatřilo, viz definici intervalu). Pak ale číslo
je ostře větší než a stále menší než . Patří proto do intervalu a nemůže být maximem množiny (teď jsme udělali důkaz!).
Tento problém lze odstranit zavedením infima a suprema množiny, která představují zobecnění
pojmů minimum a maximum. Podrobněji se jim budeme věnovat v přednáškách Matematické analýzy.
Která z následujících množin je shora omezená, zdola omezená či omezená?
,
množina všech prvočísel,
množina všech řešení nerovnice ,
.
Zobrazit odpověď
a) omezená, b) pouze zdola omezená, c) není zdola ani shora omezená, d) omezená.
Určete maxima a minima následujících množin, pokud existují.
,
, kde je pevně zvolený parametr,
,
,
.
Zobrazit odpověď
a) , , b) nemá minimum, , c) , , d) , nemá maximum, e) nemá maximum ani minimum.
Má prázdná množina maximum a minimum?
Zobrazit odpověď
Nemá. Aby tato otázka měla naději na úspěch, musela by tato množina mít nějaký prvek.