V této kapitole připomeneme definici intervalů a uvedeme několik pojmů popisujících vlastnosti podmnožin reálných čísel.
Intervaly představují důležité podmnožiny množiny reálných čísel. Pro $a,b \in \mathbb{R}$, $a < b$, zavádíme značení:
Podobně zavádíme neomezené intervaly $\langle a,+\infty)$, $(-\infty, a)$ a $(-\infty, a\rangle$.
Dále pro podmnožiny reálné osy zavádíme následující, skoro až očividné, názvosloví.
Množinu $A\subset\mathbb{R}$ nazýváme omezenou shora (resp. zdola), právě když existuje konstanta $K\in\mathbb{R}$ taková, že pro každé $x\in A$ platí $x < K$ (resp. $x > K$). Množinu $A\subset\mathbb{R}$ nazýváme omezenou, právě když je omezená shora i zdola zároveň.
Například libovolný uzavřený interval $\langle a,b \rangle$ je podle definice omezený shora i zdola. Skutečně pro každé $x \in \langle a,b \rangle$ jistě platí třeba $a-1 < x$ a $x < b+1$.
Množina přirozených čísel $\mathbb{N}$ je omezená zdola (například lze volit konstantu $K = -\pi$), ale není omezená shora (pro každé číslo $K$ existuje přirozené číslo větší než $K$, například $\lceil K \rceil + 1$).
Množina celých čísel $\mathbb{Z}$ není omezená shora ani zdola
Často potřebujeme porovnávat prvky množiny podle jejich velikosti. Důležitou roli pak hrají největší a nejmenší prvky, tzv. maxima a minima množiny. Přesná definice je následující.
Nechť $A\subset\mathbb{R}$. Číslo $a\in A$ nazýváme maximem množiny $A$, právě když pro každé $x\in A$ platí nerovnost $x \leq a$. Číslo $b \in A$ nazýváme minimem množiny $A$, právě když pro každé $x\in A$ platí nerovnost $x \geq b$. Jinak řečeno, maximum (resp. minimum) množiny $A$ reálných čísel je její prvek, který je větší (resp. menší) nebo roven než všechny ostatní prvky této množiny. Maximum (resp. minimum) množiny $A$ také značíme $\max A$ (resp. $\min A$).
Takto definované maximum (případně minimum) množiny nemusí vždy existovat. Například interval $(1,2)$ nemá ani minimum, ani maximum. Čísla $1$ ani $2$ skutečně nepatří do množiny $(1,2)$. S tímto faktem se občas studenti odmítají smířit, ale je tomu skutečně tak. Kdyby existovalo maximum množiny $(1,2)$, označme si ho $a$, pak by toto $a$ nutně muselo splňovat $a < 2$ (jinak by do uvedeného intervalu nepatřilo, viz definici intervalu). Pak ale číslo
je ostře větší než $a$ a stále menší než $2$. Patří proto do intervalu $(1,2)$ a $a$ nemůže být maximem množiny $(1,2)$ (teď jsme udělali důkaz!).
Tento problém lze odstranit zavedením infima a suprema množiny, která představují zobecnění pojmů minimum a maximum. Podrobněji se jim budeme věnovat v přednáškách Matematické analýzy.
Která z následujících množin je shora omezená, zdola omezená či omezená?
$\displaystyle\Big\{\frac{1}{n} \,\Big|\, n \in \mathbb{N} \Big\}$,
množina všech prvočísel,
množina všech řešení nerovnice $x^2 - (\pi +1)x + \pi > 0$,
$\displaystyle \{\sin x \mid x\in\mathbb{R}\}$.
a) omezená, b) pouze zdola omezená, c) není zdola ani shora omezená, d) omezená.
Určete maxima a minima následujících množin, pokud existují.
$A = \{2,-1,3\}$,
$B = (4,a\rangle$, kde $a > 4$ je pevně zvolený parametr,
$C = \{ (-1)^n \mid n \in \N \}$,
$D = \{ 2k-3 \mid k \in \N \}$,
$E = \{ 2k-3 \mid k \in \Z \}$.
a) $\min A = -1$, $\max A = 3$, b) nemá minimum, $\max B = a$, c) $\min C = -1$, $\max C = 1$, d) $\min D = -1$, nemá maximum, e) nemá maximum ani minimum.
Má prázdná množina maximum a minimum?
Nemá. Aby tato otázka měla naději na úspěch, musela by tato množina mít nějaký prvek.