4.5 Kvadratická funkce

1 Úvod 2 Matematika není jen počítání 3 Základní pojmy 4 Elementární funkce 4.1 Co je to funkce? 4.2 Absolutní hodnota 4.3 Dolní a horní celá část 4.4 Lineární funkce 4.5 Kvadratická funkce 4.6 Polynomy (mnohočleny) 4.7 Odmocniny 4.8 Racionální (lomená) funkce 4.9 Trigonometrické funkce 4.10 Exponenciální a logaritmické funkce 5 Analytická geometrie 6 Časté problémy 7 Přehled použitého značení Index Literatura

Kvadratickou funkcí nazýváme každou funkci, pro níž existují konstanty $a,b,c\in\mathbb{R}$, s $a \neq 0$ takové, že rovnost

\begin{equation}\label{eqKvadratickaFce}\tag{4.8} f(x) = ax^2 + bx + c \end{equation}

platí pro každé $x\in\mathbb{R}$. Definičním oborem takovéto funkce je dle definice celá reálná osa $\mathbb{R}$. Grafem kvadratické funkce je parabola, viz obrázek č. 4.5. Souřadnice jejího vrcholu snadno odhalíme po úpravě na čtverec:

\begin{align} a x^2 + bx + c & \href{Pokud úpravu nevidíte, pokuste se zjednodušit výraz na pravé straně rovnost. Dostanete výraz na levé straně?}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} a \Bigg( x^2 + 2 \cdot \frac{b}{2a} \cdot x + \Bigg(\frac{b}{2a} \Bigg)^{\!\!2}\, \Bigg) + c - \frac{b^2}{4a} = \nonumber \\ & \href{Kvůli tomuto jsme úpravu dělali, získáváme čtverec (kvadrát), kde je schované $x$, které už jinde není.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} a \Bigg( x + \frac{b}{2a} \Bigg)^{\!\!2} + c - \frac{b^2}{4a}.\label{eqCtverce}\tag{4.9} \end{align}

Tato úprava je motivována jednoduchým požadavkem, aby se po ní nezávisle proměnná $x$ vyskytovala pouze v umocňovaném výrazu (tzv. čtverci). Toho docílíme šikovným doplněním členů s $x^2$ a $x$ tak jak je to zde uvedeno. Snažíme se pouze využít známého vztahu $(x + \beta)^2 = x^2 + 2\beta x + \beta^2$.

Kvadrát závorky v (4.9) je vždy nezáporný. Odtud pak plyne, že vrchol paraboly se nachází v bodě o souřadnicích (horizontální souřadnice (hodnota $x$) vrcholu odpovídá číslu, které vynuluje kvadrát)

\begin{equation*} \Bigg( -\frac{b}{2a}, \, c - \frac{b^2}{4a} \Bigg). \end{equation*}

Z rovnice (4.9) je patrné, že znaménko koeficientu $a$ rozhoduje o tom, zda jsou všechny funkční hodnoty větší (menší) nebo rovny $c-\frac{b^2}{4a}$. Oborem hodnot naší kvadratické funkce proto je

\begin{equation*} H_f = \begin{cases} \left\langle c-\frac{b^2}{4a}, +\infty \right), & a > 0, \\ \left( -\infty, c-\frac{b^2}{4a} \right\rangle, & a < 0. \end{cases} \end{equation*}

Pro průsečíky grafu funkce $f$ s osou $x$ platí známý vztah

\begin{equation}\label{eqPruseciky}\tag{4.10} x_\pm = \frac{1}{2a} \Big( -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} \Big). \end{equation}

Rovnice $ax^2 + bx + c = 0$ má tedy reálná řešení za předpokladu nezápornosti diskriminantu $D = b^2 - 4ac$.

Vzorec pro hodnoty kořenů můžeme také odvodit z úpravy na čtverec. Hledáme-li kořeny, tj. řešení rovnice $ax^2 + bx + c = 0$ a použijeme-li rovnosti (4.9) dostáváme po přímočaré úpravě ekvivalentně rovnost

\begin{equation*} \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\,. \end{equation*}

Za předpokladu $D = b^2 - 4ac \geq 0$ odtud lze řešení vyjádřit následovně:

\begin{equation*} x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2|a|}\,. \end{equation*}

Díky znaménku $\pm$ lze psát souhrnně

\begin{equation*} x_{\pm} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\,, \end{equation*}

což je přesně hledaný vztah (4.10).

$\square$

Na tomto místě je vhodné zdůraznit, že korektních důkazů různých tvrzení může být více. Některé mohou být snazší, některé komplikovanější. Například pokud bychom chtěli pouze ověřit platnost předkládaného tvrzení, tedy že $x_\pm$ dané vztahy (4.10) jsou skutečně kořeny kvadratické funkce (4.8) stačí postupovat následovně⁵⁸:

Platnost vztahu (4.10) můžeme také velmi snadno ověřit prostým dosazením. Ukažme, že $x_+$ je kořenem naší kvadratické funkce z rovnice (4.8).

\begin{equation*} \begin{aligned} a x_+^2 + b x_+ + c &= a \cdot \frac{1}{4a^2} \Bigg(\! -b + \sqrt{b^2 - 4ac} \Bigg)^{\!\! 2} + \frac{b}{2a} \Bigg( -b + \sqrt{b^2 - 4ac} \Bigg) + c = \\ &= \frac{1}{4a} \Bigg( b^2 - 2 b \sqrt{b^2 -4ac} + b^2 - 4ac \Bigg) - \frac{b^2}{2a} + \frac{b}{2a} \sqrt{b^2 - 4ac} + c = 0 \end{aligned} \end{equation*}

Bod $x_+$ je tedy kořenem! Zcela analogicky se dá ověřit, že bod $x_-$ je taktéž kořenem paraboly (4.8). Opět zde ale zdůrazněme, že předpokladem provedení tohoto důkazu je znalost $x_\pm$. Dříve uvedený důkaz toto nevyžadoval, současně hledané hodnoty našel!

$\square$

Obrázek 4.5: Ukázka grafů dvou kvadratických funkcí.

Otázka 4.4

Nechť $a>b>0$. O číslech $a$ a $b$ říkáme, že jsou ve zlatém poměru⁵⁹, pokud poměr $a+b$ ku $a$ je stejný jako $a$ ku $b$. Jaký je tento poměr, tedy $\varphi = \frac{a}{b}$?

Zobrazit odpověď

$\displaystyle\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Poznámka 4.3 (Viètovy vzorce)

Ve školních příkladech, jejichž řešení typicky vychází „pěkně,“ lze často kořeny kvadratického polynomu uhodnout. Občas také při přemýšlení pomohou tzv. Viètovy vzorce⁶⁰, které představují vztahy mezi koeficienty polynomu a jeho kořeny. Pokud platí rovnost polynomů

\begin{equation*} x^2 + bx + c = (x - x_+)(x - x_-) = x^2 - (x_+ + x_-)x + x_+ x_-, \end{equation*}

pak nutně platí rovnost jejich koeficientů, čili po drobné úpravě

\begin{align*} x_+ + x_- &= -b, \\ x_+ x_- &= c.\end{align*}

Pozor, pro jednoduchost jsme koeficient u kvadratického členu položili roven jedné. To ovšem při hledání kořenů nemá újmu na obecnosti.

Například, máme-li hledat kořeny polynomu $x^2 + 5x + 6$, pak z předchozího pozorování je jejich součin roven $6$ a jejich součet $-5$. Které dvě čísla toto splňují? Přeci $x_+ = -2$ a $x_- = -3$. Platí tedy $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$.