5.2 Základní vlastnosti funkcí

1 Úvod 2 Číselné množiny 3 Logika: důkaz 4 Algebraické výrazy 5 Funkce 5.1 Co je to funkce? 5.2 Základní vlastnosti funkcí 5.3 Inverzní funkce 5.4 Absolutní hodnota 5.5 Dolní a horní celá část 5.6 Kvadratická funkce 5.7 Polynomy (mnohočleny) 5.8 Odmocniny 6 Rovnice a nerovnice 7 Lineární a lomené funkce 8 Trigonometrické funkce 9 Exponenciála a logaritmus 10 Posloupnosti a sumy 11 Analytická geometrie 12 Kombinatorika 13 Logika – formalizace Index Literatura

Nyní si připomeneme další standardní terminologii a značení související s funkcemi. Mluvíme-li o funkcích je velmi často potřebné souhrnně mluvit o zobrazovaných objektech a možných funkčních hodnotách.

Definice 5.2

Mějme funkci $f\colon A \to \mathbb{R}$ ve smyslu definice 5.1. O množině $A$ mluvíme jako o definičním oboru a značíme ji $D_f$. Množinu

\begin{equation}\label{eqOborHodnot}\tag{5.2} H_f \href{Tedy jde o množinu všech reálných $b$ pro která existuje $a$ v definičním oboru funkce $f$ splňující $f(a) = b$.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{:=}} \{ b \in \mathbb{R} \mid (\exists a \in D_f)(f(a) = b) \} \end{equation}

nazýváme oborem hodnot funkce $f$.

Připomeňme význam symbolického zápisu použitého v rovnici (5.2). Množina $H_f$ je tvořena všemi reálnými $b$ pro které existuje $a$ z definičního oboru funkce $f$ splňující $f(a) = b$. Definiční obor funkce $f$ také občas značíme bez indexu, tj. $D(f)$.

Na tomto místě upozorněme na jeden často se u studentů vyskytující omyl. Je-li dána funkce $f\colon A \to \mathbb{R}$, pak $\mathbb{R}$ nemusí nutně být obor hodnot této funkce $f$. Například funkce $\sin$, o které se budeme bavit dále, je ve smyslu notace z definice 5.1 funkce $\sin: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Její obor hodnot je ovšem množina $H_{\sin} = \langle -1,1 \rangle$. Což jistě není celá reálná osa.

Čtenář je jistě zvyklý zadávat $f(x)$ pomocí explicitního vzorce udávajícího, jaké operace je potřeba s (reálným) číslem $x$ provést, abychom získali jeho obraz $f(x)$. Toto není jediný způsob zadání funkce $f$. Na další způsoby narazíme později během studia. Je-li takto zadán funkční předpis (vzorec) bez dalšího komentáře, pak množinu všech reálných $x$, pro která má $f(x)$ smysl jakožto reálné číslo, nazýváme maximálním²⁰ definičním oborem takovéto funkce $f$.

Například zápisem $f(x) = x^2 + 3x$ máme pro každé reálné $x$ jednoznačné $f(x)$, které získáme provedením uvedených operací (zde vynásobením $x$ sama se sebou a přičtením trojnásobku $x$). Pokud není řečeno jinak, je tato funkce definovaná na největší možné množině reálných čísel, kde má uvedený předpis smysl, zde tedy $D_f = \mathbb{R}$.

Je dobré neztotožňovat „vzorec“ a „funkci“. Funkce lze zadat mnoha dalšími způsoby, jak si zanedlouho ukážeme. Také je dobré si uvědomit, že některé vzorce jsou v podstatě v tento okamžik „podvodné“ a středoškolská matematika nám mnoho neříká o skutečném výpočtu. Jak například spočteme hodnotu $\sqrt{x}$, nebo $\sin(x)$? Pro konkrétní hodnoty $x$ lze k výpočtu použít kalkulačku nebo počítač, ale jak tyto stroje spočtou tyto hodnoty a spočtou je přesně? I tím se budeme zabývat v BI-MA1 a BI-MA2.

Příklad 5.3

Uveďme ještě alespoň jeden příklad. Dejme tomu, že je zadána funkce předpisem

\begin{equation*} h(z) = \sqrt{z^2 - 3z + 2}, \end{equation*}

bez jakéhokoliv komentáře o definičním oboru. Označení nezávisle proměnné $z$ by nás nemělo nijak děsit, i to se může stát. Jejím definičním oborem je tedy výše zmíněný maximální definiční obor. Ten musíme nalézt. Argument druhé odmocniny musí být nezáporný, tedy $z$ patřící do definičního oboru funkce $h$ musí splnit

\begin{equation*} 0 \leq z^2 - 3z + 2 \href{Nalézt kořeny polynomu druhého stupně a rozložit ho tak na kořenové činitele je snadné.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} (z-2)(z-1) \end{equation*}

Součin dvou reálných čísel je nezáporný, právě když jsou obě daná čísla nezáporná nebo nekladná. Aby $z$ patřilo do $D_h$ musí tedy platit $z \geq 2$ a současně $z \geq 1$ (tj. $z \geq 2$) nebo $z \leq 2$ a současně $z \leq 1$ (tj. $z \leq 1$). Maximálním definičním oborem naší funkce $h$ proto je množina

\begin{equation*} D_h = (-\infty, 1 \rangle \href{Průnik.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\cup}} \langle 2, +\infty). \end{equation*}

Příklad 5.4

Ne každý vzoreček zadává funkci. Například ani jeden z výrazů

\begin{equation*} \sqrt{-1-x^2}, \quad\quad \ln \ln \sin(x), \end{equation*}

nemá dobrý smysl²¹ pro žádné reálné $x$.

K znázornění funkce lze použít její graf. Zavedeme-li v rovině dvě pravoúhlé souřadné osy označované standardně $x$ (vodorovná osa, nezávisle proměnná) a $y$ (svislá osa, závisle proměnná), pak grafem funkce $f$ nazýváme množinu bodů $(x,y) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ splňujících $y = f(x)$. Klademe tedy

\begin{equation}\label{eqGraf}\tag{5.3} \mathrm{graf}\, f = \{ (x,f(x)) \in \mathbb{R} \href{Kartézský součin reálné osy se sebou samou, tj. množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\times}} \mathbb{R} \mid x\in D_f \}. \end{equation}

Občas také používáme symbol $\Gamma_f$, kde $\Gamma$ je velké řecké písmenko gama. „Znázornění“ zmíněné na začátku tohoto odstavce tedy spočívá v obarvení bodů v rovině, které mají souřadnice $(x, f(x))$, kde $x \in D_f$, v těchto bodech je zachyceno působení funkce $f$ na bodech $x \in D_f$. Ilustraci tohoto konceptu uvádíme na Obrázku 5.1.

Obrázek 5.1: Ilustrace grafu funkce $f\colon D_f \to \R$, tedy množiny všech bodů $(x, f(x)) \in \R^2$, kde $x \in D_f$, v pravoúhlém kartézském souřadném systému $x-y$.

Nyní se budeme věnovat několika typům a druhům známých funkcí. Přehled vlastností mnoha elementárních funkcí a jejich vlastností lze nalézt např. v knížce (Bartsch, 2000) nebo na stránce (NIST Digital Library of Mathematical Functions, b.r.).

5.2.1 Vlastnosti funkcí

Abychom mohli snadno mluvit o chování funkcí, vyplatí se zavést několik užitečných pojmů. Podle růstu rozlišujeme následující typy:

Definice 5.3

Funkce $f$ s definičním oborem $D_f \subset \mathbb R$ je na intervalu $A \subset D_f$

rostoucí, jestliže $(\forall x,y \in A)\big(x < y \Rightarrow f(x) \leq f(y)\big)$, slovně: jestliže pro každé $x$ a $y$ z množiny $A$ platí, že je-li $x < y$ pak $f(x) \leq f(y)$,
ostře rostoucí, jestliže $(\forall x,y \in A)\big(x < y \Rightarrow f(x) < f(y)\big)$,
klesající, jestliže $(\forall x,y \in A)\big(x < y \Rightarrow f(x) \geq f(y)\big)$,
ostře klesající, jestliže $(\forall x,y \in A)\big(x < y \Rightarrow f(x) > f(y)\big)$,
monotonní, jestliže je rostoucí nebo klesající,
ryze monotonní, jestliže je ostře rostoucí nebo ostře klesající.

Pokud tyto přívlastky použijeme bez udání konkrétního intervalu, tak tím máme na mysli situaci, kdy je funkce definována právě na intervalu a uvedená vlastnost platí na jejím definičním oboru.

Námi používané názvosloví není příliš v naší zemi rozšířené, používá se spíše v anglosaské literatuře a terminologii. Je tedy pravděpodobnější, že na něj čtenář narazí při hledání na internetu a případném studiu anglické literatury (viz např. (Weisstein, b.r.)). To je jeden z důvodů motivujících naši volbu.

Příklad 5.5

Funkce $f(x) = x^2$ není ani jednoho typu uvedeného v Definice 5.3. Například pro $-1<0<1$ platí $f(-1) > f(0) < f(1)$. Tato funkce je ale například ostře rostoucí na intervalu $\langle 0, +\infty)$ a ostře klesající na intervalu $(-\infty, 0\rangle$.

Naopak funkce $g(x) = 2x$ je ostře rostoucí (a tedy i ryze monotonní), protože platnost nerovnosti $x_1 < x_2$ implikuje platnost nerovnosti $2x_1 < 2x_2$, tj. $f(x_1) < f(x_2)$.

Z hlediska symetrií funkcí rozlišujeme funkce sudé, liché a periodické.

Definice 5.4

Funkce $f$ se nazývá

sudá, jestliže $(\forall x \in D_f)((-x \in D_f) \ \text{a} \ (f(-x) = f(x)))$,
lichá, jestliže $(\forall x \in D_f)((-x \in D_f) \ \text{a} \ (f(-x) = -f(x)))$,
periodická s periodou $T > 0$, jestliže $(\forall x \in D_f)((x \pm T \in D_f) \ \text{a} \ (f(x) = f(x \pm T)))$.

Graf sudé funkce je osově symetrický vůči ose $y$. Graf liché funkce je bodově symetrický vůči počátku souřadnic. Funkční hodnota periodické funkce v bodě $x$ se nezmění s posunutím o $T$ do bodu $x+T$ nebo $x-T$. Tato geometrická interpretace těchto vlastností je názorně vidět na obrázku 5.2.

Poznámka 5.1

Povšimněme si, jak se sudost a lichost funkce chová vůči sčítání a násobení funkcí. Pro jednoduchost předpokládejme dvě funkce definované na splečném definičním oboru $A$, tj. $f\colon A \to \R$ a $g\colon A \to \R$. Potom platí:

Jsou-li $f$ i $g$ sudé, resp. liché, pak $f + g$ je také sudá (resp. lichá) a $f \cdot g$ je sudá.
Je-li $f$ sudá a $g$ lichá (nebo naopak), pak je $f \cdot g$ také lichá.

Příklad 5.6

Funkce $f(x) = \frac{1}{x}$, $x \in \R \smallsetminus \{0\}$ je lichá. Funkce $g(x) = x^2$ je sudá. Funkce $h(x) = x + 1$ není ani sudá, ani lichá.

Příklad 5.7

Typickým příkladem periodické funkce je sinus, který má jako periodu libovolný přirozeněčíselný násobek $2\pi$. Funkce $g(x) = \sqrt{\cos(x)}$, definovaná na $\bigcup_{k\in\Z} \left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi\right)$ je periodická s periodou $2\pi$. Konstantní funkce $f(x) = c$ je příkladem periodické funkce nemající nejmenší periodu.

Obrázek 5.2: Grafické znázornění sudosti, lichosti a periodicity v definici č. 5.4 (popořadě).

5.2.2 Prostá funkce

Dále na tomto místě připomeňme pojem prosté funkce.

Definice 5.5 (Prostá funkce)

Funkci $f\colon D_f \to \R$ nazýváme prostou, právě když pro každá dvě různá čísla $a$ a $b$ z definičního oboru funkce $f$ jsou i jejich funkční hodnoty $f(a)$ a $f(b)$ různé. Ekvivalentně zapsáno symbolicky,

\begin{equation*} (\forall a,b \in D_f)(a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b)). \end{equation*}

Alternativně lze požadavek v definici přeformulovat takto: funkce $f$ je prostá, právě když pro každá dvě čísla $a,b \in D_f$ splňující $f(a) = f(b)$ platí $a = b$. O prostých funkcích také mluvíme jako o injektivních funkcích.

Příklad 5.8

Například funkce $f(x) = x^2$ definovaná na celém $\R$ není prostá. Není splněn požadavek v definici, stačí zvolit dvě očividně různá čísla $a = 1$ a $b = -1$ pro která platí $f(1) = f(-1)$. V tomto odstavci jsme vyvrátili prostotu funkce $f$ protipříkladem.

Naproti tomu funkce $g(x) = x^3$ definovaná na celém $\R$ už prostá je. Skutečně, vezměme dvě $a,b \in \R$ splňující $g(a) = a^3 = b^3 = g(b)$. Plyne odtud²² rovnost $a = b$? Z předpokladu použitím známého algebraického vzorce (viz větu 3.1) plyne rovnost

\begin{equation}\label{eqProstota}\tag{5.4} 0 = a^3 - b^3 = (a-b) (a^2 + ab + b^2). \end{equation}

Výraz v druhé závorce je nulový právě tehdy když $a = b$. O tom se můžeme přesvědčit úpravou na čtverec:

\begin{equation*} a^2 + ab + b^2 = a^2 + 2 a \frac{b}{2} + \frac{b^2}{4} + \frac{3}{4} b^2 = \left(a + \frac{b}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} b^2. \end{equation*}

Pokud je alespoň jedno z $a,b$ nenulové, pak z (5.4) nutně plyne $a = b$. Tím je prostota funkce $g$ dokázána.

Poznámka 5.2

Mezi časté studentské mýty patří tvrzení: funkce $f$ je prostá, právě když každý vzor má právě jeden obraz. Toto tvrzení platí pro každou funkci, nevyjadřuje prostotu funkce. Je totiž vágní ve smyslu použití sousloví „právě jeden“. Není jasné, k čemu přesně se vztahuje a spíš by toto tvrzení mělo bých chápáno jak požadavek v definici funkce samotné (pro každý „vzor“ existuje jednoznačný způsob, kterým je mu přiřazena funkční hodnota).

Poznámka 5.3

Geometricky, pomocí grafu funkce, lze prostotu vystihnout takto: Graf funkce $f$ má s každou přímkou rovnoběžnou s osou $x$ v průniku nejvýše jeden bod.

Například pro funkci $f(x) = x^2$, která není prostá platí: graf této funkce má s přímkou $y = c$ následující průniky,

$\emptyset$ pokud $c < 0$,
$\{(0,0)\}$ pokud $c = 0$,
$\big\{\big(\sqrt{c}, c\big), \big(-\sqrt{c}, c\big) \big\}$ pokud $c > 0$.

Naopak pro funkci $f(x) = x^3$, o které již víme, že je prostá, platí: graf této funkce má s přímkou $y = c$ průnik $\big\{ (\sqrt[3]{c}, c) \big\}$.

5.2.3 Funkce „na“

A konečně rozlišujeme funkce, které jsou „na“, cizím slovíčkem surjektivní

Definice 5.6 (Funkce na)

O funkci $f\colon D_f \to \R$ říkáme, že je na, právě když jejím oborem hodnot je $\R$. Tedy když pro každé $y \in \R$ existuje $x \in D_f$ splňující $f(x) = y$.

Použití slovíčka „na“ (ve francouzštině „sur“) je vhodné, takováto funkce svůj definiční obor zobrazuje na celou cílovou množinu $\R$. Znovu připomeňme, že oborem hodnot funkce $f\colon D_f \to \R$ nutně není celé $\R$!

Poznámka 5.4

Geometricky podmínka surjektivity znamená následující: graf funkce $f$ má v průniku s libovolnou rovnoběžkou s osou $x$ alespoň jeden bod.

Vraťme se k příkladům funkcí v předchozí části textu.

Funkce $g(x) = x^2$ není na (není surjektivní). Všechny její funkční hodnoty jsou nezáporná reálná čísla a tak nikdy nezískáme libovolné záporné reálné číslo. Tj. $H_g = \langle 0, +\infty) \neq \R$.
Funkce $f(x) = x^3$ už na je (je surjektivní). Vzorem libovolného $y \in \R$ je $x \ceq \sqrt[3]{y}$, tj. $H_f = \R$.

Funkce $h(x) = c$, $x\in\R$, kde $c$ je pevně zvolené $c \in \R$, není prostá. Pro její obor hodnot platí $H_h = \{c\}$.

Příklad 5.9

Pojďme si nyní přímo pomocí definice rozmyslet, zda je funkce $f(x) = 3x - 1$ s definičním oborem $D_f = \R$ „na“, či ne. Mějme libovolné $y \in \R$ a hledejme $x \in D_f$ splňující $f(x) = 3x - 1 = y$. Takovým $x$ je právě $x = \frac{1}{3} (y + 1)$, toto $x$ splňuje (tak jsme ho hledali!) $f(x) = y$. Tato funkce je tedy „na“.

V tomto příkladu jsme se neodvolávali na graf funkce a geometrickou představu, surjektivitu uvedené funkce jsme odvodili přímo z definice.

5.2.4 Vzájemně jednoznačná funkce

Sloučením dvou předchozích pojmů získáváme následující pojem.

Definice 5.7 (Vzájemně jednoznačná funkce)

Funkci $f\colon D_f \to \R$ nazýváme vzájemně jednoznačnou, právě když je prostá a na.

O vzájemně jednoznačných funkcích také často mluvíme jako o bijekcích.

Z dříve uvedených příkladů tak například vidíme, že funkce $f(x) = x^3$ a $h(x) = 3 x - 1$ jsou bijekce. Naopak funkce $g(x) = x^2$ už bijektivní není.