4.2 Absolutní hodnota

1 Úvod 2 Matematika není jen počítání 3 Základní pojmy 4 Elementární funkce 4.1 Co je to funkce? 4.2 Absolutní hodnota 4.3 Dolní a horní celá část 4.4 Lineární funkce 4.5 Kvadratická funkce 4.6 Polynomy (mnohočleny) 4.7 Odmocniny 4.8 Racionální (lomená) funkce 4.9 Trigonometrické funkce 4.10 Exponenciální a logaritmické funkce 5 Analytická geometrie 6 Časté problémy 7 Přehled použitého značení Index Literatura

Pro reálné číslo $x$ klademe

\begin{equation}\label{eqAbsh}\tag{4.5} |x| \href{Tento zápis znamená: pokud je $x$ větší nebo rovno $0$, pak je $|x|$ rovno $x$, pokud je ale $x$ menší než nula, pak je $|x|$ rovno $-x$.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{:=}} \begin{cases} x, & x \geq 0, \\ -x, & x < 0. \end{cases} \end{equation}

Funkci $|x|$ nazýváme absolutní hodnota. Zápis použitý v rovnici (4.5) je třeba interpretovat následovně: Pokud je dané $x$ větší nebo rovno $0$, pak je $|x|$ definována jako $x$ a v případě, že $x$ je záporné, je $|x|$ definována jako $-x$. Graf absolutní hodnoty je vynesen na obrázku č. 4.2.

Obrázek 4.2: Graf absolutní hodnoty.

Shrňme nyní několik základních vlastností absolutní hodnoty. Definičním oborem absolutní hodnoty je zřejmě celá reálná osa, tj. $D_{|x|} = \mathbb{R}$. Oborem hodnot absolutní hodnoty jsou všechna nezáporná reálná čísla, tedy $H_{|x|} = \langle 0, +\infty)$. Skutečně, z definice (4.5) očividně plyne nerovnost $|x| \geq 0$ pro každé $x$ a na druhou stranu pro libovolné $y \geq 0$ platí $|y| = y$. Dále přímo z definice (4.5) jasně plyne⁵⁶, že pro každé reálné $x$ a $y$ platí

\begin{equation}\label{eqAbsminus}\tag{4.6} |{-x}| = |x|, \quad x \leq |x|, \quad -x \leq |x| \end{equation}

a (rozmyslete!)

\begin{equation*} |x\cdot y| = |x| \cdot |y|, \quad \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} \quad \text{pokud} \ y\neq 0. \end{equation*}

Z hlediska monotonie je absolutní hodnota (ostře) rostoucí funkce na intervalu $\langle 0, +\infty)$ a (ostře) klesající funkce na intervalu $(-\infty, 0\rangle$. Přímo z definice také vidíme, že se jedná o sudou funkci, která není prostá.

Další veledůležitou vlastností absolutní hodnoty je tzv. trojúhelníková nerovnost. Tu si pro její důležitost (v příštím semestru v BI-MA1 si zkuste uvědomit, co vše jsme pomocí ní dokázali) zformulujeme jako samostatnou větu.

Věta 4.1 (trojúhelníková nerovnost)

Pro každé reálné $x$ a $y$ platí nerovnost

\begin{equation*} |x + y| \href{Hodnota na levé straně je menší nebo rovna hodnotě na pravé straně.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\leq}} |x| + |y|. \end{equation*}

Zobrazit důkaz

Uvažme libovolně pevně daná reálná $x$ a $y$. Pokud

$x+y \geq 0$, pak $|x+y| = x+y \leq |x| + |y|$,
$x+y < 0$, pak $|x+y| = -(x+y) = -x -y \leq |x| + |y|$.

Skutečně, pro každé reálné $z$ totiž platí $z \leq |z|$.

$\square$

Otázka 4.1

Dokažte nebo vyvraťte tvrzení: pro každé $x\in\mathbb{R}$ platí $\sqrt{x^2} = x$.

Zobrazit odpověď

Tvrzení není pravdivé, uvažte libovolné záporné číslo $x$. Pro všechna reálná $x$ platí $\sqrt{x^2} = |x|$.