4.7 Odmocniny
Uvažme nyní reálné číslo $a$ a přirozené číslo $n$. Pomocí přirozené mocniny definujeme přirozené odmocniny jako jisté (viz níže) reálné řešení rovnice $x^n=a$. Toto řešení, existuje-li, pak označujeme symbolicky následujícími dvěma způsoby
Je nutné rozlišit případy lichého a sudého $n$ a rozmyslet si, v jakých případech tato konstrukce má dobrý smysl.
4.7.1 Sudá odmocnina
Je-li $n=2k$, $k\in\mathbb{N}$, sudé, pak $x^n\geq 0$ pro všechna $x\in\mathbb{R}$, což znamená, že rovnice $x^n = a$ má reálné řešení jen pro $a\geq 0$. Tato situace je graficky znázorněna na obrázku 4.6.
Pro $a>0$ jsou tato řešení právě dvě, neboť $x^{2k}=(-x)^{2k}$. Sudou odmocninu $\sqrt[2k]{a}$ definujeme jako nezáporné řešení rovnice $x^{2k} = a$. Proto například $\sqrt{x^2}$ je rovna $|x|$ a nikoli $x$. Pro $a=0$ je toto řešení právě jedno a tedy $\sqrt[2k]{0} = 0$.
Z výše uvedeného je patrné, že definičním oborem i oborem hodnot funkce $\sqrt[2k]{x}$ je množina $\langle 0, +\infty)$. Dále platí rovnosti
Jinak řečeno, $\sqrt[2k]{x}$ je inverzní funkcí k $x^{2k}$ zúžené na množinu $\langle 0,+\infty)$. Viz obrázek č. 4.7.
4.7.2 Lichá odmocnina
Je-li $n=2k-1,k\in\mathbb{N}$, liché, pak rovnice $x^{2k-1} = a$ má vždy právě jedno reálné řešení, o kterém mluvíme jako o liché odmocnině $a$ a značíme ji opět $\sqrt[2k-1]{a}$. Například $\sqrt[3]{-8}=-2$. Viz obrázek č. 4.8.
Definičním oborem i oborem hodnot liché odmocniny je celá množina $\mathbb{R}$. Lichá mocnina a příslušná lichá odmocnina jsou k sobě navzájem inverzní, tedy platí
Pro ilustraci viz obrázek č. 4.9.
