Nastavení

4.9 Trigonometrické funkce

Mezi trigonometrické funkce (často též goniometrické funkce) řadíme sinus ($\sin$), kosinus ($\cos$), tangens ($\tg$) a kotangens ($\ctg$). Dále se v této kapitole zmíníme o jejich vhodně zvolených inverzích, tedy funkcích arkus sinus ($\arcsin$), arkus kosinus ($\arccos$) a arkus tangens ($\arctg$).

Funkce sinus a kosinus jsou definovány pomocí následující geometrické konstrukce či algoritmu. Na vstupu je zadán úhel⁶⁵ $\alpha$ a výsledkem bude hodnota $\sin(\alpha)$ a $\cos(\alpha)$. Při čtení algoritmu je vhodné sledovat obrázek č. 4.11.

1. V počátku souřadného systému s pravoúhlými osami $x$ a $y$ sestroj jednotkovou kružnici $K$ (tj. kružnici s poloměrem $1$ v daných jednotkách os a středem v bodě $(0,0)$).

2. Od kladného směru osy $x$ vynes úhel⁶⁶ $\alpha$ proti směru hodinových ručiček. Jedním ramenem tohoto úhlu je kladná část osy $x$ a druhé rameno označme $p$.

3. Označme $A$ průnik $p$ a $K$. Dále sestrojme bod $P$, průnik osy $x$ a rovnoběžky s osou $y$ procházející bodem $A$. Tímto způsobem získáváme pravoúhlý trojúhelník $OPA$.

4. (Orientovaná) délka strany $OP$ představuje $\cos(\alpha)$ a délka strany $PA$ představuje $\sin(\alpha)$.

Přesnost výsledku samozřejmě závisí na přesnosti našich rýsovacích nástrojů. Nekonečné přesnosti lze dosáhnout pouze v případě nekonečně přesných nástrojů (zde pravítko, kružítko a úhloměr). Je zřejmé, že tato metoda „výpočtu“ není příliš praktická. V předmětu  BI-MA2 si ukážeme, jak efektivně vyhodnocovat funkční hodnoty (nejen) těchto funkcí.

Základní hodnoty funkcí sinus a kosinus jsou shrnuty v tabulce č. 4.1 a jejich grafy si můžete připomenout na obrázku č. 4.12. Z konstrukce je také poměrně patrné, že s funkcemi sinus a kosinus se setkáme jakmile budeme studovat kmitající (oscilující) jevy. Je tomu přesně tak, nejznámější uplatnění v tomto směru je analýza a zpracování signálu (např. audio ve vašem počítači) pomocí Diskrétní Fourierovy transformace (DFT), resp. Rychlé Fourierovy transformace (FFT).

Přímo z konstrukce funkcí sinus a kosinus ihned plyne důležitá vlastnost těchto funkcí,

Tato rovnost pouze vyjadřuje Pythagorovu větu v pravoúhlém trojúhelníku $OPA$ s přeponou délky $1$ a odvěsnami délky $\sin(\alpha)$ a $\cos(\alpha)$ (viz popis výše a obrázek č. 4.11).

Dále je z uvedené konstrukce patrné, že funkce sinus je lichá a kosinus sudá, tedy

Pro definiční obory těchto funkcí platí

a pro obory hodnot platí

Konečně, obě funkce jsou periodické s nejmenší periodou $2\pi$, obě funkce jsou definovány na celém $\mathbb{R}$ a pro každé $x \in \mathbb{R}$ platí rovnosti $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$ a $\cos(x+2\pi)=\cos(x)$.

Velmi užitečné jsou tzv. součtové vzorce pro funkce sinus a kosinus. Tyto vzorce lze nejsnadněji odvodit pomocí vlastností násobení komplexních čísel s využitím goniometrického tvaru komplexního čísla. Pro libovolná reálná $\alpha$ a $\beta$ platí rovnosti

resp.

Díky sudosti funkce kosinus a lichosti funkce sinus ze vzorců (4.14) a (4.15) ihned dostáváme analogické vzorce pro rozdíl

Podobné vzorce lze odvodit pro funkce tangens i kotangens. Význam těchto vzorců a jejich využití je nasnadě: máme-li informaci o hodnotách $\sin \alpha$ a $\cos \beta$, pak nám tyto vzorce umožňují získat informaci např. o hodnotě $\sin(\alpha + \beta)$. Některé algoritmy na výpočet funkčních hodnot trigonometrických funkcí jsou na těchto vztazích založeny (k dispozici je tabulka předpočtených hodnot pro větší množství vhodně zvolených úhlů, z nichž se šikovně snažíme sčítáním a odčítáním nakombinovat uživatelem zadaný úhel – algoritmus CORDIC, poprvé použitý v navigačním počítači bombardéru B-52).

Dále ze vzorců (4.14) a (4.15) plynou vzorce pro tzv. dvojnásobný úhel, které se používají velmi často:

resp.

Pomocí vztahů (4.13) a (4.16) ihned odvodíme vzorce pro sinus a kosinus polovičního úhlu,

Pokud bychom se v těchto vzorcích chtěli zbavit absolutních hodnot, museli bychom o znaménku výrazů rozhodnout na základě úhlu $\alpha$, přesněji jeho příslušnosti do některého ze čtyř kvadrantů.

Pomocí funkcí $\sin$ a $\cos$ definujeme funkce tangens $\tg$ a kotangens $\ctg$ předpisy

Jejich obory hodnot jsou tvořeny celou množinou $\R$. Pro názornost uvádíme i jejich grafy na obrázku č. 4.12.

Ani jedna z doposud zavedených trigonometrických funkcí není prostá na svém definičním oboru. Pokud zvolíme libovolné $y$ z oboru hodnot funkce $\sin$, pak existuje nekonečně mnoho $x$ z definičního oboru funkce $\sin$ tak, že $\sin(x) = y$ (viz obrázek č. 4.12). Nelze tedy zadanému $y\in H_{\sin}$ jednoznačně přiřadit $x\in D_{\sin}$ splňující $y = \sin(x)$. Stejná poznámka platí i pro $\cos$, $\tg$ a $\ctg$. Trigonometrické funkce nejsou prosté, a proto k nim neexistují inverzní funkce.

K vyřešení tohoto problému musíme trigonometrické funkce vhodně zúžit, tedy zmenšit jejich definiční obor. Ve shodě se zažitou konvencí definujeme

• arkus sinus, $\arcsin$, jako inverzní funkci k $\sin$ zúžené na interval $\langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\rangle$,

• arkus kosinus, $\arccos$, jako inverzní funkci k $\cos$ zúžené na interval $\langle 0,\pi \rangle$,

• arkus tangens, $\arctg$, jako inverzní funkci k $\tg$ zúžené na interval $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,

• arkus kotangens, $\arcctg$, jako inverzní funkci k $\ctg$ zúžené na interval $(0,\pi)$.