4.10 Exponenciální a logaritmické funkce

1 Úvod 2 Matematika není jen počítání 3 Základní pojmy 4 Elementární funkce 4.1 Co je to funkce? 4.2 Absolutní hodnota 4.3 Dolní a horní celá část 4.4 Lineární funkce 4.5 Kvadratická funkce 4.6 Polynomy (mnohočleny) 4.7 Odmocniny 4.8 Racionální (lomená) funkce 4.9 Trigonometrické funkce 4.10 Exponenciální a logaritmické funkce 5 Analytická geometrie 6 Časté problémy 7 Přehled použitého značení Index Literatura

Pro $0 < a \neq 1$ funkci⁶⁷

\begin{equation*} f(x) = a^x, \quad x\in D_f = \R, \end{equation*}

nazýváme exponenciálou o základu $a$. Tato funkce rozšiřuje mocninnou funkci ze začátku této podkapitoly i na neceločíselné exponenty. Pro libovolná reálná $x$ a $y$ platí známé vzorce

\begin{equation*} a^x \cdot a^y = a^{x+y} \quad \text{a} \quad \big(a^x\big)^y = a^{xy}. \end{equation*}

Na obrázku 4.15 je znázorněn známý průběh funkce $f$ pro různé základy $a$.

Poznamenejme, že předchozí odstavec nelze považovat za definici exponenciální funkce. Jde spíše o dohodnutí značení. Problému, jak skutečně funkci oplývající uvedenými vlastnostmi zkonstruovat, se budeme věnovat v průběhu BI-MA2.

Obrázek 4.15: Exponenciální funkce s různými základy.

Exponenciální funkce (a její další případná zobecnění) je velmi důležitá v reálných přírodních aplikacích. Na tomto místě pouze lehce krypticky zmiňme, že se objevuje v situacích, kdy je možné míru změny jisté veličiny považovat za přímo úměrnou její hodnotě. Typickým příkladem procesů popsaných pomocí exponenciálních funkcí jsou tak rozdílné jevy⁶⁸ jako je radioaktivní rozpad a šíření viru v populaci (alespoň v jisté fázi). Dále na ni narazíme při popisu složitosti algoritmů, kdy si na vystihnutí chování některých algoritmů nevystačíme s polynomiálními funkcemi: exponenciální funkce (s různými základy) nám umožňují popsat závislosti rostoucí (nebo klesající) „řádově“ silněji, než polynomy.

Obecně lze říci, že pro $a > 1$ je $f$ ostře rostoucí ($f(x) < f(y)$ kdykoliv $x < y$), $D_f = \R$ a $H_f = (0,+\infty)$. Pro $a < 1$ je $f$ ostře klesající ($f(x) > f(y)$ kdykoliv $x < y$), $D_f = \R$ a $H_f = (0,+\infty)$.

Exponenciální funkce není sudá, lichá, ani periodická. Je ovšem prostá, ale není na (není surjektivní).

4.10.1 Logaritmus

Inverzní funkci k exponenciální funkci o základu $a$, $0 < a \neq 1$, kterážto je prostá, nazýváme logaritmem o základu $a$ a značíme $\log_a$. Definičním oborem exponenciální funkce bylo celé $\R$ a oborem hodnot interval $(0,+\infty)$. Odtud plyne, že definičním oborem logaritmu je $D_{\log_a} = (0,+\infty)$ a oborem hodnot logaritmu je $H_{\log_a} = \R$.

S logaritmem se čtenář již v praxi jistě nepřímo setkal. Například Richterova stupnice (vyjadřující intenzitu otřesů) nebo decibelová škála (měřící intenzitu zvuku) jsou logaritmické.

Obrázek 4.16: Grafy několika logaritmických funkcí s různými základy.

Z vlastností exponenciály a definice logaritmu jako inverzní funkce k ní lze odvodit důležité vlastnosti logaritmu,

\begin{equation}\label{eqLog1}\tag{4.17} a^{\log_a x} = x, \quad x>0, \end{equation}

\begin{equation}\label{eqLog2}\tag{4.18} \log_a a^x = x, \quad x\in\R, \end{equation}

\begin{equation}\label{eqLog3}\tag{4.19} \log_a xy = \log_a x + \log_a y, \quad x,y > 0 \end{equation}

\begin{equation}\label{eqLog4}\tag{4.20} \log_a x^y = y \log_a x, \quad x>0 \ \text{a} \ y\in\R. \end{equation}

První dvě vlastnosti, (4.17) a (4.18), jsou pouze vyjádřením inverzního vztahu mezi exponenciálou a logaritmem, platí tedy definitoricky. Dokažme si vlastnost (4.19). Pro kladná $x,y$ existují reálná $u,v$ taková, že

\begin{equation*} x = a^u \quad \text{a} \quad y = a^v. \end{equation*}

Odtud

\begin{equation*} xy = a^u \cdot a^v = a^{u+v}. \end{equation*}

Takže

\begin{equation*} \log_a xy = u + v = \log_a x + \log_a y. \end{equation*}

Podobným způsobem lze dokázat vlastnost (4.20).

Poznámka 4.4

Čtenář je jistě seznámen s operací tzv. odlogaritmování. Tedy tvrzením, že pokud

\begin{equation*} \log_a x = \log_a y, \end{equation*}

pro nějaká $x,y > 0$ a $0 < a \neq 1$, pak

\begin{equation*} x = y. \end{equation*}

Tato operace není nijak magická. Jde pouze o využití prostoty funkce $\log_a$. Stejná úprava je korektní pro libovolnou prostou funkci (v případě prosté funkce $f$ je totiž rovnost obrazů $f(x) = f(y)$ ekvivalentní rovnosti vzorů $x = y$)!

Otázka 4.13

Jaký je definiční obor funkce $f(x) = \log_a(x^2)$?

Zobrazit odpověď

$\R\smallsetminus\{0\}$. Pozor, tato funkce není totožná s funkcí $h(x) = 2 \log_a(x)$.

Otázka 4.14

Dokažte vzorec (4.20).

Soustřeďme se nyní na pár okamžiků na přirozený logaritmus, podobné úvahy platí ale i obecně. Zajímavou vlastností logaritmu $\ln$ je jeho pomalý růst. Až budete později během studia zkoumat efektivitu algoritmů, tak budete rádi, když získáte ve vyjádření „složitosti“ logaritmus. Typicky například běh programu v závislosti na velikosti vstupu $N$ popsaný funkcí $N^2$ je výrazně pomalejší (a tedy pro nás i horší) než ten popsaný funkcí $N \ln N$.

Uvedenou pomalost lze pěkně vidět ve vztahu (4.20). Vemte si opět přirozený logaritmus $\ln$ a zvolte například $x = 1\,000\,000 = 10^6$, pokusné velké číslo. Pro funkční hodnotu ale platí $\ln(10^6) = 6 \cdot \ln(10)$, tj. exponent se převádí pouze na násobení logaritmem základu (zde cca $2.3$; srovnejte to s kvadratickou funkcí $x^2$, která při tomto experimentu skočí do astronomických čísel $(10^6)^2 = 10^{12}$).