3. Domácí úkol: Kulečník

Odraz na překážkách

V našem simulátoru se zaměříme pouze na dva typy překážek, z kterých bude možné okraj kulečníku sestavit:

Naše kulička bude popsána polohou (bod v rovině) a vektorem rychlosti. Zřejmě si stačí zaznamenávat pouze body, kdy dochází k odrazu (viz níže).

Odraz v obou případech probíhá podobně. Dojde pouze k změně velikosti rychlosti $v \in \mathbb{R}^2$ podle následujícího pravidla: je-li $s \in \mathbb{R}^2$ vektor udávající směrnici tečny k překážce a $n \in \mathbb{R}^2$ odpovídající normálový směr, oba normalizované na jedničku (délky 1), pak nový směr kuličky po odrazu je

kde $\langle,\rangle$ označuje standardní skalární součin. Vektory $s$ a $v$ uvedené výše v případě jednotlivých překážek určíme snadno:

Poincarého řezy

Jedním z vizuálních nástrojů pro pozorování chaosu jsou tzv. Poincarého řezy.

Stav kuličky v našem kulečníku je dán její polohou (bod v rovině) a směrem rychlosti (velikost nehraje roli). Libovolný stav kuličky je proto prvek množiny $\mathbb{R}^2 \times \langle -\pi, \pi \rangle$ (tzv. fázový prostor). Prvky této množiny, ale i trajektorie v rovině, sice jde vizualizovat, ale výsledek je značně nepřehledný.

Poincarého myšlenka spočívá v "řezu" této množiny. V našem případě konkrétně zafixujeme úsečku (podél které kulečník rozřízneme) a zaznamenáme si pouze průsečíky trajektorií s touto úsečkou a směr rychlosti. Jsou-li krajní body řezu $A$ a $B$ a trajektorie prochází bodem $X$ ležícím na úsečce spojující tyto dva body, tj. $X = A + t (B - A)$, kde $t \in \langle 0, 1\rangle$, pak zobrazíme bod o souřadnicích $t, \varphi$, kde $\varphi$ je úhel, který vektor rychlosti svírá s kladným směrem osy $x$, tj. hodnota mezi $-\pi$ a $\pi$. K rozlišení trajektorií použijeme rozdílné barvy (tj. body v řezu odpovídající jedné trajektorii jsou jedné barvy).

Typy

Abstraktní typ Obstacle modeluje libovolnou překážku a má dva podtypy, typ Segment a typ Arc.

Typ Segment představuje úsečku a k vytvoření objektu jednoduše vyžaduje dva body dané úsečky. Body chápeme jako Vector{Float64} o dvou složkách. Nelze vytvořit úsečku mezi body, které jsou u sebe moc blízko nebo jsou dokonce si rovny (blízkost bodů ověřujte pomocí metody isapprox)

Typ Arc představuje část oblouku kružnice se středem v bodě (Vector{Float64}) a poloměrem (Float64) a dále dvěma úhly (oba Float64). První úhel musí být menší než druhý a ukazují (proti směru hodinových ručiček od kladného směru osy $x$) začátek a konec oblouku. Tj. pokud bychom měli jednotkovou kružnici, tak s úhly $0$ a $\pi$ mluvíme pouze o její části nad osou $x$.

Střed kružnice musí být svousložkový vektor (jsme v rovině), poloměr musí být nezáporný, první úhel musí být menší než druhý a musí být možné je zadat i jako násobky $\pi$ (v Julia existuje abstraktní konstanta pi, její použití je pohodlné pro uživatele).

Posledním použitým vlastním typem je typ Table, který jednoduše modeluje kulečník sestavený z překážek z dvou výše uvedených typů. Tyto překážky jednoduše ukládá/dostává v poli typu Vector{Obstacle}.

Funkce simulate!

Tato metoda počítá postupně body odrazu na okraji kulečníku, který jí předáme v prvním argumentu (table). Druhý argument (path) obsahuje matici Float64 hodnot rozměru $4 \times n$, kde v prvním sloupci jsou uloženy počáteční podmínky: popořadě souřadnice polohy a složky vektoru rychlosti (nemusí být jednotkový). Metoda z této počáteční podmínky poté vyplní zbývající sloupce pole hodnotami souřadnic dopadů na hranici a novými složkami rychlosti (po odrazu).

Počet odrazů, které algoritmus napočítá je tedy $n-1$.

Hodnota $n$ musí být alespoň $2$. Matice path musí mít právě čtyři řádky. Pokud algoritmus nenajde další dopadu ("děravý" kulečník, nebo špatné počáteční podmínky vně kulečníku), dojde k výjimce RuntimeError.

Vizualizační funkce draw_path a draw_poincare

Konečně budou k dispozici dvě vizualizační metody:

Testy

Vaši implementaci prověříte spuštěním testů (automaticky se spouštějí i na Gitlabu) příkazem julia --project=@. test/runtests.jl.