V této části si položíme otázku, která ze zmíněných číselných množin (komplexní čísla z této otázky vynecháme) je jak velká. Rychlá (a správná) odpověď na tuto otázku samozřejmě je, že jsou všechny nekonečné. Lze nějak rozhodnout, jestli je nějaká nekonečná množina větší, než jiná nekonečná množina?

Uvažujme sudá přirozená čísla: $\{ 2, 4, 6, \ldots \}$ Tuto množinu můžeme z množiny přirozených čísel získat tak, že z ní vyškrtneme všechna lichá čísla, kterých je také nekonečně mnoho. Vypadá to tedy tak, že množina sudých čísel je mnohem menší, než množina čísel přirozených, byť jsou obě nekonečné.

Můžeme se na to ale podívat takto. Když jsou dvě množiny stejně velké, měli bychom být schopni vytvořit dvojice prvků z těchto dvou množin a žádné prvky mimo dvojice by nám nezbyly. Kdyby Popelka dostala za úkol místo třídění rozhodnout, jestli je v hromadě více zrnek rýže než kuliček hrachu, mohla by postupovat takto: Ke každému zrnku by přiřadila kuličku a kdyby jí zbyly kuličky, bylo více hrachu, kdyby zrnka a tak rýže; pouze když jí nezbude nic, bylo obojího stejně.

Kdyby hypotetická Popelka dostala stejný úkol s nekonečnými hromádkami přirozených a sudými čísel, mohla by postupovat následovně:

1. Nejdříve vezme jedničku jako nejmenší přirozené číslo a spáruje jej s jeho dvojnásobkem z množiny sudých čísel, dostane pár $(1, 2)$.

2. Pak vezme dvojku a opět ji spáruje s jejím dvojnásobkem, dostane $(2, 4)$.

3. A takto pokračuje dále se všemi přirozenými čísly, kdy každé spáruje s jejím dvojnásobkem, tedy sudým číslem.

Matematicky, s využitím proměnné, můžeme všechny vzniklé dvojice napsat jako $(n, 2n)$, kde $n$ zastupuje libovolné přirozené číslo.

Je jasné, že v těchto nekonečných párech je zastoupeno každé přirozené číslo (jako první člen páru) a také každé sudé přirozené číslo (jako druhý člen). Tedy to Popelce vychází tak, že jsou obě množiny stejně velké.

A z pohledu matematiky tyto množiny stejné jsou, přesněji řečeno, mají stejnou mohutnost. To definujeme právě tak, že je umíme takto bezezbytku spárovat. Ještě „matematičtěji“ se to definuje takto: dvě množiny mají stejnou mohutnost, jestliže mezi nimi existuje bijekce⁴

Takže přirozených čísel je stejně, jako sudých čísel, kterých je vlastně „polovina“. Když platí taková podivnost, nemohlo by celých čísel být taky stejně jako přirozených, když je jich „dvakrát tolik“? No samozřejmě: Můžeme je opět bezezbytku spárovat. Jedničce přiřadíme nulu, sudým přirozeným číslům jejich poloviny (tedy páry $(n, n/2)$ pro $n = 2, 4, 6, \ldots$) a lichým přirozeným číslům $n = 3, 5, 7, \ldots$ přiřadíme záporná celá čísla $-(n -1)/2$. Opět tak spárujeme každé přirozené číslo se všemi celými.

Jak je to s racionálními čísly? Těch už přeci nemůže být stejně. Každé přirozené číslo $n$ je čitatelem nekonečně mnoha zlomků ve tvaru $\frac{n}{m}$, kde $m \in \mathbb{Z}$ je libovolné celé nenulové číslo. Racionálních čísel je tedy nekonečněkrát více než přirozených! Přesto je jich stejně.

Existence spárování nějaké množiny bezezbytku s přirozenými čísly vlastně znamená, že umíme danou množinu seřadit a očíslovat, neboli určit, který prvek je první (ten spárovaný s 1), druhý (ten spárovaný s 2) a tak dále. I racionální čísla umíme seřadit a očíslovat. Jak se to přesně udělá, si vysvětlíme ve videu. Základní myšlenka je tato: Každé racionální číslo $\frac{n}{m}$ můžeme jednoznačně vyznačit v kartézské soustavě souřadnic jako bod s celočíselnými souřadnicemi $m$ a $n$. Nyní tuto celočíselnou mřížku procházíme takto: Bod $(0,0)$ reprezentující nulu navštívíme jako první (spárujeme jej s přirozeným číslem 1), pak jdeme do bodu $(1,1)$ (reprezentujícímu zlomek $1/1$, neboli jedničku) a pak postupujeme takto: Pokud to jde, zahneme doleva a pokud je vlevo již navštívený bod, jdeme rovně. Takovým šnekem projdeme všechny body a opět je tak jednoznačně spárujeme s přirozenými čísly.

U reálných čísel se konečně dočkáme, těch není stejně, jako čísel přirozených. Platí pro ně ale možná ještě divnější věci. Opět trochu předběhneme a použijeme pojmy z kapitoly o funkcích, které ale nejspíše znáte. Když si zavzpomínáte na goniometrickou funkci tangens, možná si vzpomenete, že je periodický s periodou $\pi$ a že je definována na celém otevřeném intervalu $(-\pi/2, \pi/2)$. Na tomto intervalu je navíc ostře rostoucí od mínus nekonečna do plus nekonečna a je tedy prostá. Jinými slovy každému číslu z intervalu $(-\pi/2, \pi/2)$ jednoznačně přiřazuje číslo z intervalu $(-\infty, \infty)$ neboli z množiny reálných čísel $\mathbb{R}$. Díky prostotě je toto přiřazení jednoznačné i naopak: Ke každému číslu z  $\mathbb{R}$ máme jednoznačně přiřazeno i číslo z  $(-\pi/2, \pi/2)$. Dle naší definice mají tyto množiny stejnou mohutnost!

Jestli umíte dostatečně cvičit s funkcemi, tak už Vám je nyní jasné, že není problém upravit tangens tak, aby byl prostý a od mínus nekonečna do nekonečna na jakémkoli otevřeném intervalu $(a, b)$, kde $a < b$. Dostáváme tak překvapivé zjištění: Na celé číselné ose je stejně (reálných) čísel jako v jakémkoli otevřeném intervalu.

Ukázat, že reálná čísla nejsou stejně mohutná jako přirozená čísla, není složité. Ukazuje se to tak, že není možné očíslovat a seřadit všechna čísla z intervalu $(0, 1)$, který je, jak už víme, stejně početný jako celé $\mathbb{R}$. Jedná se o jeden z nejslavnějších důkazů z historie matematiky, o tzv. Cantorovu diagonální metodu, pojmenovanou podle Georga Cantora. Její myšlenku si vysvětlíme v přiloženém videu.

Pro úplnost dodejme, že množina komplexních čísel je stejně mohutná jako množina čísel reálných.

Množinám, které jsou stejně mohutné jako $\mathbb{N}$ se říká spočetné, nekonečným množinám, které nejsou spočetné, se pak říká nepřekvapivě nespočetné. S tímto novým slovníkem můžeme shrnout, že $\mathbb{N}, \mathbb{Z}$ a $\mathbb{Q}$ jsou spočetné a $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}$ nikoli.