Anotace

9.2 Vlastnosti posloupností

Jelikož je posloupnost funkce, mohli bychom prostě říci, že vlastnosti funkcí ze sekce 4.2 se vztahují i na posloupnosti. Měli bychom sice pravdu, ale posloupnosti takto neodbudeme. Některé vlastnosti nedávají pro posloupnosti smysl, např. sudost a lichost, které předpokládají, že má funkce definiční obor symetrický vůči nule. Jelikož my jsme si definovali posloupnost jako funkce s definičním oborem $\N$, tak tento předpoklad není splněn.Jiné definice, jako je například monotónnost, jsou pro posloupnosti smysluplné, ale jejich definici lze oproti funkcím zjednodušit. Například rostoucí funkce $f$ je definována takto, funkce $f$ je rostoucí, jestliže pro každé $x$ a $y$ z definičního oboru platí, že je-li $x < y$ pak $f(x) \leq f(y)$, formálně

\begin{equation*} (\forall x,y \in D_f)\big(x < y \Rightarrow f(x) \leq f(y)\big) \end{equation*}

Když tuto definici přeložíme pro posloupnost, tedy použijeme obvyklejší značení a posloupnost namísto $f$ označíme $a$, proměnné namísto $x$ a $y$ označíme $n$ a $m$, funkční hodnotu v bodě $n$ označíme $a_n$ a za definiční obor dosadíme $\N$, dostaneme:

\begin{equation*} (\forall n,m \in \N)\big(n < m \Rightarrow a_n \leq a_m\big) \end{equation*}

Tato definice je sice správná a pochopitelná, ale lze ji zjednodušit s využitím jednoduchého pozorování: Pokud $a_n \leq a_m$ platí pro každé $n < m$, určitě platí i pro volbu $m = n + 1$. Pro rostoucí posloupnost tedy určitě pro každé $n$ platí, že $a_n \leq a_{n+1}$. Teď to otočme a předpokládejme, že máme posloupnost, pro kterou dva po sobě jdoucí členy splňují, že ten následující není menší, než ten předchozí; formálně zapsáno platí, že $a_n \leq a_{n+1}$ pro každé $n$. Může pro takovou posloupnost nastat, že například pro $n = 10$ a $m = 15$ bude $a_{10} > a_{15}$? My víme, že pro dva po sobě jdoucí členy toto neplatí, neboli

\begin{equation*} a_{10} \leq a_{11}, \quad a_{11} \leq a_{12}, \quad a_{12} \leq a_{13}, \quad a_{13} \leq a_{14}, \quad a_{14} \leq a_{15}. \end{equation*}

Když dáme všechny tyto nerovnosti dohromady, dostaneme, že

\begin{equation*} a_{10} \leq a_{11} \leq a_{12} \leq a_{13} \leq a_{14} \leq a_{15} \end{equation*}

a tedy nutně i  $a_{10} \leq a_{15}$.

Tuto myšlenku lze zobecnit38 pro libovolnou volbu $n$ a $m$ splňujících $n < m$. Platí tedy, že pokud pro každé $n$ je $a_n \leq a_{n+1}$, pak pro každé $n < m$ platí, že $a_n \leq a_m$. Definici rostoucí posloupnosti tak můžeme zjednodušit na následující obvyklejší formu.

Definice 9.2

Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ je

  • rostoucí, jestliže $(\forall n \in \N)\big(a_n \leq a_{n+1}\big)$,

  • ostře rostoucí, jestliže $(\forall n \in \N)\big(a_n < a_{n+1}\big)$,

  • klesající, jestliže $(\forall n \in \N)\big(a_n \geq a_{n+1}\big)$,

  • ostře klesající, jestliže $(\forall n \in \N)\big(a_n > a_{n+1}\big)$,

  • monotonní, jestliže je rostoucí nebo klesající,

  • ryze monotonní, jestliže je ostře rostoucí nebo ostře klesající.

  • konstantní, jestliže pro každé $n$ platí, že $a_n = a_{n+1}$.

U některých posloupností je jejich monotónnost zřejmé, příkladem může být exponenciální posloupnost $(2^n)_{n=1}^\infty$ z příkladu 9.1. Ta je rostoucí a to dokonce hodně rychle a ostře. Abychom to dokázali, měli bychom pro libovolné $n$ ukázat, že $2^n < 2^{n+1}$, což je můžeme také vyjádřit jako

\begin{equation*} \frac{2^{n+1}}{2^n} > 1, \end{equation*}

což je zřejmé, protože $\frac{2^{n+1}}{2^n} = 2$.

předchozí
podkapitola
následující
předchozí
kapitola
následující