Druhá posloupnost, se kterou se seznámíme, vzniká podobně jako aritmetické, jen namísto přičítáním stejného čísla členy posloupnosti vznikají násobením.
Geometrická posloupnost je posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$, pro kterou existují reálná čísla $a_1$ a $q$ taková, že pro každé $n \in \N$ platí
Číslo $q$ se nazývá kvocient geometrické posloupnosti.
Příklad geometrické posloupnosti jsme si již ukázali v příkladu 10.1. Tam uvedená posloupnost $2, 4, 8, 16, \ldots$ je geometrickou posloupností s prvním členem $a_1 = 2$ a kvocientem $q = 2$.
Co se týče monotónnosti geometrické posloupnosti, ta záleží opět zejména na znaménku a velikosti kvocientu $q$. Tentokrát formulaci tvrzení o monotónnosti geometrické posloupnosti nenecháme čtenářce či čtenáři, ale zformulujeme ji zde přímo. Důkaz si dovolíme považovat za zřejmý40.
Nechť $(a_n)_{n=1}^\infty$ je geometrická posloupnost s prvním členem $a_1$ a kvocientem $q$. Pak platí následující:
Posloupnost je rostoucí, právě když je $q > 1$ a $a_1 > 0$ nebo $q < 1$ a $a_1 < 0$.
Posloupnost je klesající, právě když je $q < 1$ a $a_1 > 0$ nebo $q > 1$ a $a_1 < 0$.
Posloupnost je konstantní, právě když je $q = 1$ nebo $a_1 = 0$.
Stejně jako u aritmetické posloupnosti si ukážeme, jak sečíst jejích prvních $n$ členů.
Pro součet prvních $n$ členů geometrické posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ s kvocientem $q \neq 1$ a prvním členem $a_1$ platí následující vzorec:
Důkaz a odvození tohoto vzorce najdete opět ve videu.
Video 10.3: Geometricka posloupnost s její součet
I geometrická posloupnost se vyskytuje v modelech různých procesů, z nichž asi nejznámější je úročení. Je to proto, že roční úročení např. o 5 % vlastně znamená, že úročenou částku každý rok násobíme číslem $1,05$, čímž vlastně generujeme geometrickou posloupnost s kvocientem $q = 1,05$ a s $a_1$ rovnému počáteční částce.
Využití geometrické posloupnosti a její sumy si ukážeme opět na příkladech, jejichž řešení přikládáme opět ve formě videí.
Představme si, že máme pásku papíru dlouhou 10 metrů, kterou opakovaně překládáme přesně v půlce. Dostáváme tak pásku dlouhou 5 metrů, 2 a půl metru a tak dále.
1) Jak tlustá bude páska po dvaceti přeloženích, jestliže je z papíru tlustého 0,1 milimetru?
2) A jak bude páska po dvaceti přeloženích dlouhá?
Video 10.4: Geometricka posloupnost - příklad 1
A nyní již příklad se slíbeným úročením.
Vlasta chce koupit rodičům pokosovou pilu za 20 000 Kč. Od banky má nabídku speciálního spořícího účtu s měsíčním úrokem 4 %.
1) Jestliže na účet vloží 10 000 Kč, kolik na něm bude mít za rok? Kdy poprvé bude mít dost peněz na pilu?
2) Jak se změní odpovědi na předchozí otázky, když bude na účet každý měsíc (včetně toho prvního) přidávat 1000 Kč?
Video 10.5: Geometricka posloupnost - příklad 2