Anotace

8.3 Logaritmus

Inverzní funkci k exponenciální funkci o základu $a$, $0 < a \neq 1$, kterážto je prostá, nazýváme logaritmem o základu $a$ a značíme $\log_a$. Definičním oborem exponenciální funkce bylo celé $\R$ a oborem hodnot interval $(0,+\infty)$. Odtud plyne, že definičním oborem logaritmu je $D_{\log_a} = (0,+\infty)$ a oborem hodnot logaritmu je $H_{\log_a} = \R$.

S logaritmem se čtenář již v praxi jistě nepřímo setkal. Například  Richterova stupnice (vyjadřující intenzitu otřesů) nebo  decibelová škála (měřící intenzitu zvuku) jsou logaritmické.

Obrázek 8.2: Grafy několika logaritmických funkcí s různými základy.

Z vlastností exponenciály a definice logaritmu jako inverzní funkce k ní lze odvodit důležité vlastnosti logaritmu,

\begin{equation}\label{eqLog1}\tag{8.6} a^{\log_a x} = x, \quad x>0, \end{equation}

\begin{equation}\label{eqLog2}\tag{8.7} \log_a a^x = x, \quad x\in\R, \end{equation}

\begin{equation}\label{eqLog3}\tag{8.8} \log_a xy = \log_a x + \log_a y, \quad x,y > 0 \end{equation}

\begin{equation}\label{eqLog4}\tag{8.9} \log_a x^y = y \log_a x, \quad x>0 \ \text{a} \ y\in\R. \end{equation}

První dvě vlastnosti, (8.6) a (8.7), jsou pouze vyjádřením inverzního vztahu mezi exponenciálou a logaritmem, platí tedy definitoricky. Dokažme si vlastnost (8.8). Pro kladná $x,y$ existují reálná $u,v$ taková, že

\begin{equation*} x = a^u \quad \text{a} \quad y = a^v. \end{equation*}

Odtud

\begin{equation*} xy = a^u \cdot a^v = a^{u+v}. \end{equation*}

Takže

\begin{equation*} \log_a xy = u + v = \log_a x + \log_a y. \end{equation*}

Podobným způsobem lze dokázat vlastnost (8.9).

Doplňkové povídání o logaritmu nabízíme čtenáři ve Videu 8.2. Ve Videu 8.3 se pak zabýváme logaritmem a exponenciálou s obecným základem.

Video 8.2: Povídání o přirozeném logaritmu.

Video 8.3: Exponenciála a logaritmus s obecným základem.

Poznámka 8.1

Čtenář je jistě seznámen s operací tzv. odlogaritmování. Tedy tvrzením, že pokud

\begin{equation*} \log_a x = \log_a y, \end{equation*}

pro nějaká $x,y > 0$ a $0 < a \neq 1$, pak

\begin{equation*} x = y. \end{equation*}

Tato operace není nijak magická. Jde pouze o využití prostoty funkce $\log_a$. Stejná úprava je korektní pro libovolnou prostou funkci (v případě prosté funkce $f$ je totiž rovnost obrazů $f(x) = f(y)$ ekvivalentní rovnosti vzorů $x = y$)!

Otázka 8.1

Jaký je definiční obor funkce $f(x) = \log_a(x^2)$?

$\R\smallsetminus\{0\}$. Pozor, tato funkce není totožná s funkcí $h(x) = 2 \log_a(x)$.

$\square$

Otázka 8.2

Dokažte vzorec (8.9).

Soustřeďme se nyní na pár okamžiků na přirozený logaritmus, podobné úvahy platí ale i obecně. Zajímavou vlastností logaritmu $\ln$ je jeho pomalý růst. Až budete později během studia zkoumat efektivitu algoritmů, tak budete rádi, když získáte ve vyjádření „složitosti“ logaritmus. Typicky například běh programu v závislosti na velikosti vstupu $N$ popsaný funkcí $N^2$ je výrazně pomalejší (a tedy pro nás i horší) než ten popsaný funkcí $N \ln N$.

Uvedenou pomalost lze pěkně vidět ve vztahu (8.9). Vemte si opět přirozený logaritmus $\ln$ a zvolte například $x = 1\,000\,000 = 10^6$, pokusné velké číslo. Pro funkční hodnotu ale platí $\ln(10^6) = 6 \cdot \ln(10)$, tj. exponent se převádí pouze na násobení logaritmem základu (zde cca $2.3$; srovnejte to s kvadratickou funkcí $x^2$, která při tomto experimentu skočí do astronomických čísel $(10^6)^2 = 10^{12}$).

předchozí
podkapitola
předchozí
kapitola
následující