10.3 Aritmetická posloupnost a její součet

1 Úvod 2 Číselné množiny 3 Logika: důkaz 4 Algebraické výrazy 5 Funkce 6 Rovnice a nerovnice 7 Lineární a lomené funkce 8 Trigonometrické funkce 9 Exponenciála a logaritmus 10 Posloupnosti a sumy 10.1 Co je to posloupnost? 10.2 Vlastnosti posloupností 10.3 Aritmetická posloupnost a její součet 10.4 Geometrická posloupnost a její součet 11 Analytická geometrie 12 Kombinatorika 13 Logika – formalizace Index Literatura

Jednou z nejběžnějších posloupností, s jakou je možné se setkat, je posloupnost čísel, která vznikne opakovaným přičítáním stejného čísla. V duchu příkladu 10.1 bychom se mohli zeptat, jak pokračuje následující posloupnost čísel

\begin{equation*} 2, 4, 6, 8, \ldots \end{equation*}

Takový příklad by asi nebyl výzvou ani pro žáky druhé třídy. My si to ale přeci jen toto téma trochu opepříme. Začneme formální³⁹ definicí této posloupnosti.

Definice 10.3 (Aritmetická posloupnost)

Aritmetická posloupnost je posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$, pro kterou existují reálná čísla $a_1$ a $d$ taková, že pro každé $n \in \N$ platí

\begin{equation*} a_n = a_1 + (n-1)d. \end{equation*}

Číslo $d$ se nazývá diference aritmetické posloupnosti.

Z definice aritmetické posloupnosti je zřejmé, že každý člen aritmetické posloupnosti vznikne přičtením diference $d$ k předchozímu členu, neboli

\begin{equation*} a_{n+1} = a_n + d. \end{equation*}

Z této rovnosti pak snadno můžeme rozhodnout o monotónnosti aritmetické posloupnosti.

Otázka 10.1

Uvažujme aritmetické posloupnosti s prvním členem $a_1 = 2$ a diferencí (a) $d = 3$, (b) $d = 0$ a (c) $d = -3$. Jak budou vypadat první čtyři členy těchto posloupností? Které z nich jsou rostoucí, které klesající a které konstantní?

Zobrazit odpověď

První členy posloupnosti (a) jsou $2, 5, 8, 11$, (b) $2, 2, 2, 2$ a (c) $2, -1, -4, -7$. Posloupnost (a) je rostoucí, posloupnost (b) je konstantní a posloupnost (c) je klesající.

Příklad 10.2

Pro aritmetickou posloupnost je celkem jednoduché rozhodnout o její monotónnosti, protože záleží pouze na znaménku diference $d$. Zkuste si toto jednoduché tvrzení řádně a korektně zformulovat a dokázat. Tento příklad není od toho, abyste byli pyšní na to, že to víte, ale abyste si zkusili zformulovat matematickou větu a důkaz, který by měl jasně pracovat s definicí aritmetické posloupnosti a definicí monotónnosti posloupnosti.

10.3.1 Částečný součet aritmetické posloupnosti

Častý úkol, který se vyskytuje v souvislosti s posloupnostmi, je výpočet součtu prvních $n$ členů. U některých posloupností je tento součet poměrně snadno spočitatelný, u jiných je to složitější. Aritmetická posloupnost patří do první kategorie. Odvození vzorce pro součet prvních $n$ členů aritmetické posloupnosti spočívá v sečtení té asi nejjednodušší nekonstantní aritmetické posloupnosti $1,2,3,\ldots$ která odpovídá aritmetické posloupnosti s diferencí $d = 1$ a prvním členem $a_1 = 1$. Pro součet prvních $n$ členů této posloupnosti platí jednoduchý vzorec

\begin{equation*} 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}. \end{equation*}

Tento vzorec pak s pomocí jednoduchých úprav můžeme přizpůsobit pro libovolnou aritmetickou posloupnost a získat vzorec pro součet prvních $n$ členů aritmetické posloupnosti obecně.

Věta 10.1

Pro součet prvních $n$ členů aritmetické posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ s diferencí $d$ a prvním členem $a_1$ platí následující vzorec:

\begin{equation*} \begin{aligned} a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n & \href{Pro úplnost přepíšeme zápis aritmetické posloupnosti pomocí vzorce pro $n$tý člen, tedy $a_n = a_1 + (n-1)d$.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} \\ a_1 + (a_1+d) + (a_1+2d) + (a_1+3d) + \cdots + (a_1+ (n-1)d) & = \frac{n}{2}\big(2a_1 + (n-1)d\big) \\ & \href{Obě tato vyjádření částečného součtu jsou ekvivalentní, protože $a_n = a_1 + (n-1)d$. Jelikož se můžete běžně setkat s oběma těmito vzorci, uvádíme je pro jistotu oba.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} \frac{n}{2}\big(a_1 + a_n\big) \end{aligned} \end{equation*}

Odvození tohoto vzorce spolu s dalšími řečmi o aritmetické posloupnosti najdete v následujícím videu.

Video 10.1: Aritmetická posloupnost a její součet

Ukážeme si, jak tento vzorec použít při řešení slovní úlohy, kde aritmetická posloupnost není na první pohled vidět.

Příklad 10.3

V rámci přípravy na maraton běhá Františka každý den. První tréninkový den uběhne 2 km. Každý další den si běh prodlouží o 0,5 km, aby si její tělo zvykalo pozvolna a nehrozilo zranění.

1) S tréninkem skončí v den, kdy uběhne 20 km. Kolikátý den to bude?

2) Kolik kilometrů uběhne celkem od prvního dne tréninku po poslední?

Řešení tohoto příkladu najdete v následujícím videu.

Video 10.2: Aritmetická posloupnost - příklad 1

Obsah