Výrok je tvrzení, o kterém lze v principu jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Prvotní výrok je výrok ve tvaru jednoduché oznamovací věty. Výroky značíme velkými písmeny $A, \ B, \ C, \ldots$ Často narazíme na výroky závisející na parametru $x$, které značíme dle očekávání $A(x), B(x), \ldots$. Takovému výroku se říká predikát a parametru $x$ proměnná. Pro různá $x$ tak dostáváme různé výroky $A(x)$. Uveďme alespoň dva příklady.
Nechť $x$ probíhá množinu všech obyvatel planety Země. Symbolem $A(x)$ označme výrok „$x$ mluví česky“. Označuje-li $a$ Karla Kloudu, pak je výrok $A(a)$ pravdivý.
Nechť $x$ probíhá množinu všech celých čísel. Symbolem $B(x)$ označme výrok „$x$ je sudé číslo“. Pravdivými výroky pak jsou například $B(2)$, či $B(4)$, ale $B(99)$ pravdivý není.
Připomeňme základní logické spojky, tedy operace, pomocí nichž z daných výroků sestavujeme složitější (uvádíme symbol, název, význam v tomto pořadí):
$\neg A$, negace, $A$ není pravdivé, ne- $A$,
$A \wedge B$, konjunkce, platí $A$ a zároveň $B$,
$A \vee B$, disjunkce, platí $A$ nebo45 $B$,
$A \Rightarrow B$, implikace, pokud $A$ potom $B$, $A$ implikuje $B$, z $A$ plyne $B$,
$A \Leftrightarrow B$, ekvivalence, $A$ je ekvivalentní s $B$, $A$ platí právě tehdy když $B$.
Abychom mohli kvantifikovat proměnné vyskytující se ve výrocích, zavádíme tři kvantifikátory (opět uvádíme v pořadí symbol, název, význam):
$\forall$, obecný kvantifikátor, pro všechna, pro každé,
$\exists$, existenční kvantifikátor, existuje, pro nějaké,
$\exists!$, $\exists_1$, existuje právě jedno.
Pokud proměnná $x$ probíhá všechna reálná čísla, píšeme $\forall x \in \R$. Podobně, pokud chceme vyjádřit existenci celého čísla $k$, píšeme $\exists k \in \Z$.
Formule (v logice) je symbolický zápis výroku pomocí prvků formálního jazyka logiky, tj. pomocí symbolů pro výroky a proměnné, logických spojek, kvantifikátorů a závorek. Závorkami oddělujeme kvantifikátory a podformule abychom zajistili přehlednost a jednoznačný výklad struktury výrazu. Převodu výroku z přirozeného jazyka do formule se říká formalizace.
Předveďme si názornou ukázku.
Přirozené číslo $p$ se nazývá prvočíslo, právě když každé přirozené $k$ dělící $p$ je rovno $1$ nebo $p$. Zapsáno pomocí jazyka logiky odpovídá této podmínce formule
zde používáme označení $k|p$ pro predikát „$k$ dělí $p$“.
Podmínku v definici omezenosti množiny $A \subset \mathbb{R}$ shora bychom mohli ekvivalentně vyjádřit následující formulí
Známá Goldbachova hypotéza patří mezi jednoduchá matematická tvrzení, která jsou numericky ozkoušena pro milióny případů, ale důkaz jejich případné pravdivosti doposud není znám. Tato hypotéza tvrdí, že každé sudé přirozené číslo větší než $2$ lze vyjádřit jako součet dvou prvočísel, například
Označíme-li $P$ množinu všech prvočísel a $2\N$ množinu všech sudých přirozených čísel, pak Goldbachovu hypotézu lze vyjádřit formulí
Pro porozumění matematickým textům je potřebná i obrácená dovednost – překlad logických formulí do tvrzení přirozeného jazyka.
Pokud pro celá čísla $a,b$ značí $a|b$ predikát „$a$ dělí $b$“, potom formule
vyjadřuje tvrzení, že každé přirozené číslo ostře větší než $1$ má alespoň dva navzájem různé dělitele46.
Když mluvíme o obsahu tvrzení, jeho smyslu a pravdivosti, pojmy výrok a formule obvykle používáme zaměnitelně. Jedná se pouze o různé zápisy téhož. Rozlišujeme je tehdy, když se zabýváme formalizací výroků, tedy přechodem mezi přirozeným jazykem a formálním jazykem logiky.
Video 13.1: Logika - jazyk a formalizace