Nastavení

10.1 Co je to posloupnost?

Poprvé jste se nejspíše setkali s (potenciálně) nekonečnou posloupností ve formě „zábavných přemýšlecích“ příkladů tohoto typu:

Toto je samozřejmě triviální příklad a asi si celkem rychle povšimnete, že jde o posloupnost mocnin dvojky. Máme tedy pravidlo, který nám dovoluje určit či popsat libovolný člen posloupnosti a tím máme vlastně definovánu celou posloupnost nekonečně mnoha čísel.

S posloupnostmi, které nejsou zadané pomocí nějakého takového pravidla, se můžete také setkat celkem běžně. Často jde o záznamy vývoje nějakého procesu zaznamenávaného v určitých intervalech, například cena zlata na burze na konci dne, průměrná teplota v jednotlivých dnech na dané meteostanici, počet obyvatel v jednotlivých letech v nějaké zemi, atd. Takové posloupnosti jsou z principu konečné, ale mohou pokračovat libovolně dlouho, takže s nimi vlastně pracujeme jako s nekonečnými posloupnostmi. U těchto posloupností neumíme určit žádné pravidlo, které by nám dovolilo určit libovolný člen posloupnosti. Přesto se o to snažíme, protože to může být užitečné, nebo velmi lukrativní. To ale spadá spíše do oblasti statistiky, ekonomie, meteorologie atp. a vyžaduje to znalosti z těchto oborů, takže se o tom zde nebudeme bavit, neb takové znalosti u čtenářů³⁶ nepředpokládáme.

Co kdybychom ale například kontinuálně zaznamenávali okamžitou rychlost jedoucího automobilu či teplotu v určitém místě, půjde stále hovořit o posloupnosti? Umíme v takovém případě říci, jakou hodnotu má stý člen této posloupnosti? Umíme zaznamenat prvních několik členů do tabulky? Nikoli, takový záznam, pokud jej chceme nějak reprezentovat, musíme použít graf, jehož $x$ ová osa reprezentuje čas. Pokud bychom měli velké štěstí a teplota či automobil by se chovali nebývale ukázněně, mohli bychom hodnotu v čase $t$ popsat nějakou funkcí $f(t)$, které nám pro každé $t$ z daného časového intervalu dává odpovídající teplotu či rychlost.

Vidíme, že takový záznam už je spíše funkcí reálné proměnné než posloupností. U posloupnosti je totiž důležité, že umíme určit například jaký člen je desátý, další, předchozí, každý druhý atp. Přesněji řečeno, že členy umíme seřadit, očíslovat, vypsat vedle sebe, atp. V souladu se sekcí 2.2 můžeme říci, že posloupnost odpovídá spočetnému nekonečnu a tím pádem je možné její členy očíslovat přirozenými čísly. Kontinuální záznam, reprezentovaný nepřerušovaným grafem, odpovídá nespočetnému nekonečnu, jeho členy nelze číslovat. Tento rozdíl je v mnoha ohledech zásadní a je zdrojem jednoho ze základních (i když nepřesných a dosti umělých) rozdělení matematiky na matematiku diskrétní a matematiku spojitou³⁷.

Rozdíl mezi funkcí, jejíž definičním oborem jsou všechna reálná čísla (tedy nespočetná množina) a diskrétní posloupností, jejíž členy můžeme očíslovat (tj. jde spočetnou množinu) můžeme demonstrovat na grafu funkce a posloupnosti na obrázku 10.1. Vidíme, že graf funkce je souvislá červená čára, zatímco graf posloupnosti jsou modré tečky, které jsou od sebe oddělené.

Teď, když jsme si zdůraznili rozdíl mezi funkcí a posloupností, můžeme konečně definovat pojem posloupnosti formálně. Poněkud paradoxně si řekneme, že posloupnost je funkce. Tím nechceme popřít, co jsme si řekli doteď. Klíčový rozdíl totiž leží v definičním oboru, který u posloupnosti musí být spočetný.

Předchozí definice není rozhodně jediná možná. Klíčové je, že posloupnost je funkce se spočetným definičním oborem. My jsme si ale v sekci 2.2 řekli, že spočetné množiny jsou právě ty, které lze očíslovat přirozenými čísly. Tato definice nás tedy vlastně o nic neochuzuje. Neměli byste tedy být tolik zaskočeni, pokud se setkáte s posloupností číslovanou od nuly, značenou jako $(a_n)_{n = 0}^\infty$, nebo dokonce s posloupností číslovanou sudými čísly ($(a_{2n})_{n=1}^\infty$) či dokonce všemi celými čísly ($(a_n)_{n\in\Z} = (a_n)_{n=-\infty}^\infty$).

V příkladu 10.1 jsme si nekonečnou posloupnost zadali pomocí pár prvních jejích členů a magického „třítečkového operátoru“, který spočívá v naději, že všichni čtenáři a čtenářky správně uhodnou, co autor textu mínil. Spolehlivějším způsobem zadání posloupnosti je předpis, který jasné říká, jak vypadá její $n$-tý člen pro všechny $n$ z definičního oboru, tedy pro všechna $n\in\N$. V případě příkladu 10.1 jde tedy o posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$, jejíž $n$-tý člen je pro všechna $n\in\N$ dán vzorcem

V další části si řekneme něco o posloupnostech obecně a následně si povíme něco o dvou konkrétních důležitých posloupnostech.