S nabytými znalostmi se můžeme pustit do popisu jednoho z nejjednodušších objektů geometrie, a sice přímky. Ukážeme si dva způsoby jejího zápisu pomocí rovnic(e): obecné a parametrických. Opět se budeme snažit o navázání na předpokládané středoškolské znalosti a o náznak toho, jak tuto látku pojmeme na vysoké škole, zejména v lineární algebře.

10.4.1 Parametrické rovnice přímky

Pomocí operací sčítání vektorů a násobení vektoru číslem můžeme po kartézské soustavě „cestovat a zanechávat stopu“. Například kdybychom vzali vektor $\mathbf{u} = (1, 0)$ a násobili jej postupně celými čísly $0,1,-1,2,-2,3,-3, \ldots$ tak dostaneme všechny „celočíselné body“ na ose $x$. Kdybychom místo celých čísel vynásobili vektor $\mathbf{u} = (1, 0)$ všemi reálnými čísly, dostali bychom už úplně všechny body na ose $x$, protože reálná čísla jsou „spojitá“ resp. vyplňují celou číselnou osu bez mezer (viz kapitolu 1). A tato vlastnost reálných čísel dovoluje pomocí násobení vektoru vytvořit objekt, který má formu spojité čáry či dokonce souvislé plochy (k tomu musíme využít i sčítání vektorů, jak uvidíme v další sekci věnované rovině).

Už je Vám asi jasné, že vynásobením nenulového vektoru všemi reálnými čísly dostaneme přímku procházející počátkem, jejíž „sklon“ je dán tímto vektorem. Proč tomu tak je, je vidět například z obrázku  10.5. Osa $x$ je tedy přímka, kterou dostaneme vynásobením vektoru $(1, 0)$ všemi reálnými čísly a můžeme ji chápat jako množinu vektorů (nebo bodů, chcete-li)

Podobně bychom násobením vektoru $(0, 1)$ všemi reálnými čísly dostali osu $y$.

Každou přímku procházející počátkem tedy můžeme vyjádřit pomocí vhodného vektoru $\mathbf{u} \neq \mathbf{0}$ jako množinu

Musí jen platit, aby vektor $\mathbf{u}$ ležel na dané přímce nebo, jinými slovy, „ukazoval jejím směrem“. Dva různé nenulové vektory, které leží na stejné přímce, nám tímto způsobem dávají stejnou přímku. Například platí

Přímku, která neprochází počátkem, můžeme získat tak, že vezmeme k ní rovnoběžnou přímku procházející počátkem a vhodně ji „posuneme“. Matematicky toto posunutí vyjádříme pomocí operace vektor plus množina vektorů, jejíž výsledkem je množina vektorů a kterou definujeme takto: pro vektor $\mathbf{v}$ a množinu vektorů $V \subset \R^n$ klademe

Speciálně pro nenulový vektor $\mathbf{u}$ a množinu $V = \{ \alpha \cdot \mathbf{u} \mid \alpha \in \R \}$ tak dostaneme

Geometricky si tuto operaci můžeme představit tak, že vezmeme každý vektor (bod) z množiny $V$ a posuneme jej o vektor $\mathbf{v}$. V případě přímky to pak udělá přesně to, co chceme: dostaneme přímku se sklonem daným vektorem $\mathbf{u}$, která prochází bodem určeným vektorem $\mathbf{v}$, viz obrázek níže.

V definici výše jsme dali (opět) přednost pohledu na přímku jako na množinu vektorů. To je přístup, který budeme používat v lineární algebře. Středoškolsky nebo i geometricky je běžnější definovat přímku jako bod plus násobky směrového vektoru, tedy jako

Bod $A = [v_1,v_2]$ v  $\R^2$ resp. $A = [v_1,v_2,v_3]$ v  $\R^3$ odpovídá vektoru posunutí z definice. Je snad zřejmé, že jde v podstatě o to samé a je dobré se na to i tak dívat. I my budeme obě definice používat a chápat jako ekvivalentní.

Už jsme si řekli, že směrový vektor $\mathbf{u}$ není určen jednoznačně a může být nahrazen jakýmkoli svým nenulovým násobkem. U vektoru posunutí je situace podobná, není ani zdaleka určen jednoznačně.

10.4.2 Obecná rovnice přímky v  $\R^2$

Uvažujme přímku $p$ procházející počátkem $(0,0)$ v  $\R^2$. Jelikož $(0,0)$ leží na přímce (přesněji: je prvkem přímky), můžeme $(0,0)$ zvolit za její vektor posunutí a přímku tak vyjádřit jen pomocí jejího směrového vektoru $\mathbf{u} = (u_1,u_2)$.

Uvažujme vektor $\mathbf{n} = (n_1,n_2)$, který je kolmý na $\mathbf{u}$. To znamená, že skalární součin $\mathbf{n} \cdot \mathbf{u}$ je roven nule. Z definice skalárního součinu ale plyne, že skalární součin zůstane nulový i když vektor $\mathbf{u}$ vynásobíme libovolným reálným číslem. Jinými slovy $\mathbf{n}$ je kolmý na všechny vektory (body) přímky $p$.

Tohoto faktu můžeme využít pro získání dalšího způsobu popisu přímky $p$: vektor $(x, y)$ je prvkem přímky $p$ právě tehdy, když je kolmý na vektor $\mathbf{n}$, tedy když platí

což lze přepsat jako

Co když přímka $p$ neprochází počátkem? I takovou přímku lze popsat pomocí vektoru kolmého na její směrový vektor, jak nám říká následující věta.

Rovnici

lze přepsat jako

a tu jde dále přepsat do tvaru

Jelikož $n_1 v_1 + n_2 v_2$ je číslo z  $\R$, můžeme každou obecnou rovnici přímky přepsat do tvaru

kde $a, b, c \in \R$. V tomto tvaru obvykle najdete obecnou rovnici přímky v učebnicích a i my ji tak budeme zapisovat.

Pro přímku v prostoru $\R^3$ už neexistuje jedna obecná rovnice, je třeba pracovat se soustavou rovnic. Ty si užijete v lineární algebře až až, takže zde zůstaneme skromně v rovině $\R^2$.

10.4.3 Přecházení mezi parametrickou a obecnou rovnicí přímky

Přímku v  $\R^2$ tedy umíme pospat dvěma způsoby: pomocí parametrické rovnice nebo pomocí obecné rovnice. V předchozí části jsme si i ukázali, jak z parametrických rovnic přejít na obecnou rovnici přímky pomocí normálového vektoru. Ukážeme si tento přechod nyní na příkladu konkrétní přímky.

Z parametrických rovnic snadno získáme směrový vektor $\mathbf{u} = (2, -1)$. Normálový vektor je nějaký na něho kolmý. Z definice skalárního součinu je jasné, že stačí prohodit složky vektoru $\mathbf{u}$ a u jedné z nich změnit znaménko⁶⁵. Normálový vektor je tedy například $\mathbf{n} = (1, 2)$. V hledané obecné rovnici

tak máme určeny parametry $a = 1$ a $b = 2$.

Rovnice

pro libovolné $c \in \R$ odpovídá přímce, která je rovnoběžná s naší přímkou. Aby byla totožná s naší přímkou, stačí, aby měla společný jediný bod, pak už má nutně společné všechny. My určitě víme, že na naší přímce leží bod $[1, 3]$ odpovídající vektoru posunutí. Stačí tedy zvolit $c$ tak, aby $x = 1$ a $y = 3$ splňovaly rovnici, tedy

Z toho dostáváme hledanou obecnou rovnici přímky:

Opačný směr, od obecné rovnice k parametrickým, je ještě jednodušší.

Z rovnice okamžitě vidíme, že $\mathbf{n} = (2, -4)$ je normálový vektor přímky. Za směrový vektor můžeme vzít libovolný nenulový vektor kolmý na $\mathbf{n}$, například $\mathbf{u} = (4, 2)$. Pro určení nějakého vektoru posunutí nám stačí najít libovolný bod, který leží na přímce. Například můžeme zvolit $x = 0$ a vyřešit jednoduchou lineární rovnici pro $y$:

Tím jsme našli bod $[0, -\frac{3}{4}]$ ležící na přímce, takže vektor posunutí může být $\mathbf{v} = (0, -\frac{3}{4})$.Parametrické rovnice přímky jsou tedy například

10.4.4 Úhel mezi přímkami

Když si představíme dvě přímky v rovině, vidíme, že má smysl mluvit o úhlu, který svírají. Buď jsou rovnoběžné, pak je úhel nulový, nebo se protínají. V takovém případě máme na výběr mezi dvěma úhly a my si za definici zvolíme ten menší z nich, který je vždy z intervalu $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Je jasné, že úhel mezi přímkami je dán úhlem, který svírají jejich směrové vektory $\varphi$. Buď jsou tyto úhly přímo shodné, nebo se úhel mezi přímkami rovná $\pi - \varphi$, je-li úhel mezi směrovými vektory větší než $\frac{\pi}{2}$. Pro určení vzorce pro úhel využijeme větu  10.1. Abychom vždy dostali úhel z intervalu $[0, \frac{\pi}{2}]$, použijeme absolutní hodnotu ve vzorci pro kosinus.

V případě $\R^2$ si rozmyslete, že stejný úhel získáme i když nahradíme směrové vektory vektory normálovými.

S pomocí úhlu mezi přímkami můžeme definovat i rovnoběžnost a kolmost přímek. Dvě přímky jsou rovnoběžné, pokud je úhel mezi nimi roven $0$ a jsou kolmé, pokud je úhel mezi nimi roven $\frac{\pi}{2}$. Další známé pojmy, například mimoběžné a různoběžné přímky, si již snadno definujete sami.

10.4.5 Vzdálenost bodu od přímky

Vzdálenost dvou bodů jsme si definovali jako délku vektoru spojujícího tyto body, viz (10.9). Jak ale definovat například vzdálenost bodu od přímky, přímky od přímky, bodu od roviny? Mohli bychom na to jít středoškolsky a prostě říci, že vzdálenost bodu od přímky je délka kolmice „spuštěné“ z bodu na přímku. My ale v rámci přípravy na solidní matematické studium na to půjdeme jinak a začneme obecnou definicí vzdáleností dvou množin vektorů.

Buďte $M$ a $N$ dvě neprázdné množiny vektorů z  $\R^n$. Vzdálenost množin $M$ a $N$ definujeme jako

pokud takové minimum existuje⁶⁶. Speciálně pro jednoprvkovou množinu $M = \{\mathbf{m}\}$ píšeme stručněji

Slovy řečeno: vzdálenost dvou množin je nejmenší vzdálenost mezi jejich dvěma prvky (v našem případě vektory či body, chcete-li).

Aplikujeme-li tuto definici na případ bodu (tedy jednoprvkové podmnožiny $\R^2$ resp. $\R^3$) a přímky, dostaneme následující. Vzdálenost bodu $\mathbf{b}$ od přímky $p = \{\mathbf{v} + t \mathbf{u} \mid t \in \R\}$ je

Ukážeme si, jak toto minimum najít v rovině $\R^2$.

Předpokládejme, že $\mathbf{b}$ není prvkem přímky $p$; v opačném případě by jejich vzdálenost byla nula a nešlo by o zajímavou úlohu. Buď $\mathbf{n}$ normálový vektor k přímce $p$. Nechť $\mathbf{z}$ je průnikem přímky $p$ a přímky procházející bodem $\mathbf{b}$ se směrovým vektorem $\mathbf{n}$. Průnik dvou přímek je dán rovnicí

s využitím parametrických rovnic dostáváme soustavu rovnic

Jde tedy o soustavu dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé $t$ a $s$ s tím, že nám stačí znát jednu z nich k určení průsečíku. Ukážeme si to na příkladu níže. Jak se hledá průsečík dvou přímek zadaných obecnou rovnicí, si ani ukazovat nebudeme, jde opět o soustavu, a to právě těch dvou obecných rovnic. Pokud je jedna přímka zadaná parametricky a druhá obecnou rovnicí, lze průsečík určit dosazením parametrického vyjádření do obecné rovnice: tím dostaneme dokonce lineární rovnici o jedné neznámé, a to o parametru parametricky zadané přímky.

Označme tedy nalezený průnik jako $\mathbf{z}$. Jelikož leží na přímce $p$, můžeme jej vzít jako vektor posunutí, platí tedy $p = \{\mathbf{z} + t \mathbf{u} \mid t \in \R\}$. Vezměme nějaký bod přímky $p$ a označme jej jako $\mathbf{x}$, určitě existuje $t \in \R$ takové, že $\mathbf{x} = \mathbf{z} + t \mathbf{u}$. Při určování vzdálenosti $d(\mathbf{b}, p)$ hledáme takové $\mathbf{x} \in p$, které je k bodu $\mathbf{b}$ nejblíže ze všech prvků přímky $p$. Neboli hledáme takové $t$, že je výraz

nejmenší možný. Podívejme se na následující obrázek, který ilustruje naše zavedené značení.

Pokud $\mathbf{x}$ není shodný se $\mathbf{z}$, dostaneme mezi body reprezentovanými vektory $\mathbf{b}$, $\mathbf{z}$ a $\mathbf{x}$ pravoúhlý trojúhelník. Z Pythagorovy věty pak dostaneme

Po dosazení $\mathbf{x} = \mathbf{z} + t \mathbf{u}$

Pro jaké $t$ je vzdálenost $\| \mathbf{b} - \mathbf{x} \| = \|\mathbf{b}-(\mathbf{z}+t\mathbf{u})\|$ nejmenší? Vzhledem k tomu, že délky vektorů jsou nezáporné, stejně jako číslo $t^2$, určitě platí pro libovolné $t \neq 0$

To nám vlastně říká, že jakýkoli bod přímky $p$ jiný než $\mathbf{z}$ je od bodu $\mathbf{b}$ vzdálenější než bod $\mathbf{z}$. Bod $\mathbf{z}$ je tedy hledaným bodem přímky $p$, který je nejblíže bodu $\mathbf{b}$. Stejná úvaha platí i v $\mathbb{R}^3$ a dokonce i v $\mathbb{R}^n$, i když tam je třeba si říci, co je Pythagorova věta v n-rozměrném prostoru. Také je to pro $n > 2$ složitější s normálovým vektorem.

Nejprve si vyjádříme přímku parametricky:

Normálový vektor k přímce $p$ je například $\mathbf{n} = (-1,2)$. Přímka procházející $\mathbf{b} = (5,1)$ a kolmá na $p$ má tedy parametrické vyjádření

Průsečík přímek získáme porovnáním parametrických vyjádření obou souřadnic:

To můžeme převést na soustavu rovnic pro $s$ a $t$ ve tvaru:

Tu můžeme vyřešit různými způsoby. Ten, který se budeme učit v lineární algebře, odpovídá tomu, že od první rovnice odečteme dvojnásobek rovnice druhé, čímž dostaneme rovnici o jedné neznámé:

Hledaný průsečík dostaneme dosazením za $s$ do rovnice přímky

To je náš hledaný nejbližší bod přímky $p$ k bodu $\mathbf{b}$. Podle věty 10.4 je tedy vzdálenost bodu $\mathbf{b}$ od přímky $p$ rovna

10.4.6 Rovnice úsečky

Blízká (i když poněkud konečná) příbuzná přímky je úsečka. Ta je obvykle vymezena dvěma koncovými body. Pokud jste pochopili definici a konstrukci parametrického vyjádření přímky, asi byste zvládli vyjádřit i úsečku. Přesto si to zde pro jistotu zformulujeme.

Úsečka $AB$ je tedy množina všech bodů, které získáme tak, že k bodu $A$ přičteme vektor spojující body $A$ a $B$ vynásobený všemi reálnými čísly $t \in [0,1]$. Je-li $t = 0$, dostaneme bod $A$, a je-li $t = 1$, dostaneme bod $B$. Pro $t \in (0,1)$ dostaneme body uvnitř úsečky, například pro $t = \frac{1}{2}$ dostaneme střed úsečky.

Z definice úsečky snadno dostaneme parametrické vyjádření:

V případě úsečky v rovině $\mathbb{R}^2$ bude definice i parametrické vyjádření obdobné, jen bez souřadnice $z$.