5.3 Transcedentní rovnice a nerovnice

Rovnice, ve kterých se neznámá vyskytuje v argumentu nealgebraických funkcí, nazýváme transcendentní. Mezi základní typy patří rovnice exponenciální, logaritmické a trigonometrické.

Exponenciální rovnice mají neznámou v exponentu mocniny. Při řešení základního typu $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, kde $a > 0, a \neq 1$, využíváme prostoty exponenciální funkce. Platí totiž, že $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ právě tehdy, když se rovnají exponenty. To vede na rovnici $f(x) = g(x)$. U obecnější rovnice tvaru

\begin{equation*} a^{f(x)}=b, \end{equation*}

kde $a>0, a\neq 1$, se snažíme převést obě strany na mocniny se stejným základem nebo použijeme funkci inverzní, tedy logaritmus. Při úpravách aplikujeme pravidla pro počítaní s exponenciální funkcí.

Příklad 5.5

V oboru reálných čísel vyřešte rovnici

\begin{equation*} 3^x=7. \end{equation*}

Zde nelze jednoduše převést obě strany na stejný základ. Dosadíme do funkce logaritmus a použijeme pravidla pro počítání s logaritmem:

\begin{equation*} \begin{aligned} \log(3^x)&=\log 7\\ x\log 3&=\log 7\\ x&=\frac{\log 7}{\log 3}=\log_3 7. \end{aligned} \end{equation*}

$\square$

U exponenciálních nerovnic využíváme monotónnost exponenciální funkce. Pokud $a>1$, funkce $a^x$ je rostoucí, tedy „směr nerovnosti mezi exponenty se nemění“. Pokud $0 < a < 1$, funkce $a^x$ je klesající a „směr nerovnosti mezi exponenty se obrací“.

Příklad 5.6

V oboru reálných čísel řešte nerovnici

\begin{equation*} 4^{x+1} - 2^{2x+1} < 8 \cdot 2^{x+1}. \end{equation*}

V prvním kroku vyjádříme všechny členy pomocí mocnin o základu 2 a aplikujeme pravidla pro mocniny mocnin či mocniny se součtem v exponentu. Dostaneme tak nerovnici ve tvaru:

\begin{equation*} \begin{aligned} (2^2)^{x+1} - 2^{2x+1} &< 2^3 \cdot 2^{x+1}\\ 2^{2(x+1)} - 2^{2x+1} &< 2^{3+x+1}\\ 2^{2x+2)} - 2^{2x+1} &< 2^{x+4}\\ 2^{2x+1}(2-1)&<2^{x+4}\\ 2^{2x+1}&<2^{x+4}. \end{aligned} \end{equation*}

Protože základ mocniny je větší než $1$, exponenciální funkce je rostoucí. Nerovnost tedy platí právě tehdy když platí stejná nerovnost mezi exponenty:

\begin{equation*} \begin{aligned} 2x+1&

Množina řešení nerovnice je $S=(-\infty,3)$.

$\square$

Logaritmické rovnice a nerovnice jsou ty, ve kterých se neznámá vyskytuje v argumentu logaritmu, tj. $\log_a(f(x))$. Protože definičním oborem logaritmu je interval $D_{\log}=(0,\infty)$, je vždy nutné nejdřív stanovit podmínky³³ — argument každého logaritmu musí být kladný. Podobně jako u exponenciálních (ne)rovnic, při řešení využíváme toho, že funkce $\log_a(x)$ je prostá a monotonní: pokud $a>1$, funkce je rostoucí a pokud $0 < a < 1$, funkce je klesající. Inverzní funkcí k logaritmické je funkce exponenciální. Při úpravách používáme pravidla pro počítaní s logaritmem (viz Sekce 8).

Příklad 5.7

Vyřešte v oboru reálných čísel rovnici

\begin{equation*} \log_2(x-1) + \log_2(x+1) = 3. \end{equation*}

Argument logaritmu musí být kladné číslo, společný definiční obor pro celou rovnici je tedy interval $(1, \infty)$. Pomocí pravidla pro logaritmus součinu ($\log_a u + \log_a v = \log_a(u \cdot v)$) spojíme logaritmy na levé straně do jednoho:

\begin{equation*} \begin{aligned} \log_2 \left( (x-1)(x+1) \right) &= 3\\ \log_2 \left( x^2-1 \right) &= 3. \end{aligned} \end{equation*}

Aplikací inverzní exponenciální funkce dostáváme ekvivalentní rovnici

\begin{equation*} \begin{aligned} x^2-1=2^3\\ x^2=9. \end{aligned} \end{equation*}

Řešením je tedy množina $S=\{-3,3\}$.

$\square$

Trigonometrické (goniometrické) rovnice obsahují neznámou v argumentu goniometrických funkcí ($\sin, \cos, \tg, \cotg$).Vzhledem k periodičnosti těchto funkcí mají trigonometrické rovnice v reálném oboru často nekonečně mnoho řešení, která zapisujeme pomocí periody (např. $+ 2k\pi$ nebo $+ k\pi$, kde $k \in \mathbb{Z}$). Při řešení trigonometrických rovnic využíváme goniometrické vzorce (pro dvojnásobný argument, součtové vzorce) a často aplikujeme metodu substituce, abychom rovnici převedli na algebraický tvar. U nerovnic je nejefektivnější cestou vyhodnocení situace na jednotkové kružnici nebo analýza grafů příslušných funkcí (viz Sekce 7).

Příklad 5.8

V oboru reálných čísel řešte rovnici

\begin{equation*} \cos^4 x - \sin^4 x = \sin(2x). \end{equation*}

Levou stranu rovnice si představíme jako rozdíl druhých mocnin $\left(\cos^2(x)\right)^2 - \left(\sin^2(x)\right)^2$ a rozložíme ji na součin podle vzorce $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

\begin{equation*} (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \sin(2x). \end{equation*}

Dále využijeme rovnosti $\cos^2 x + \sin^2 x=1$ a vzorce pro dvojnásobný úhel funkce kosinus $\cos(2x)=\cos^2 x - \sin^2 x$. Dosazením těchto vztahů do levé strany rovnice dostaneme:

\begin{equation*} \cos(2x) = \sin(2x). \end{equation*}

Z definice funkcí sinus a kosinus tato rovnost platí právě tehdy, když $2x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, kde $k \in \mathbb{Z}$. Řešení tedy existuje nekonečně mnoho a množina všech řešení je

\begin{equation*} S=\left\{\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}: k\in\mathbb Z\right\}. \end{equation*}

$\square$

Anotace

Obsah