5.4 Metoda substituce

Substituce je nahrazení určitého (opakujícího se) výrazu v rovnici novou pomocnou proměnnou. Cílem je zjednodušit složitou strukturu na základní druh rovnice, například na kvadratickou.Typickým příkladem jsou bikvadratické rovnice tvaru $ax^4 + bx^2 + c = 0$, kde volíme substituci $y = x^2$, čímž získáme standardní kvadratickou rovnici $ay^2 + by + c = 0$. Po vyřešení rovnice s pomocnou proměnnou $y$ se vždy musíme vrátit k původní proměnné $x$ (tzv. zpětná substituce). Řešíme tedy další rovnici (v uvedeném případě $x^2=y$), ve které pravou sranu nahradíme hodnotami řešení pro proměnnou $y$. Další časté využití substituce je napříkld u trigonometrických rovnic, kde novou proměnnou nahrazujeme trigonometrické funkce.

Jednu ukážku substituce jsme viděli už v Příkladě 5.1. Nyní si předvedeme další.

Příklad 5.9

Vyřešte v oboru reálných čísel rovnici

\begin{equation*} 2\cos^2 x - 5\sin x - 4 = 0. \end{equation*}

Rovnice obsahuje jak $\sin x$, tak $\cos x$. Abychom mohli zavést substituci, musíme rovnici vyjádřit pouze pomocí jedné funkce. Využijeme goniometrickou jedničku $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, ze které vyjádříme $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

\begin{equation*} \begin{aligned} 2(1 - \sin^2 x) - 5\sin x - 4 &= 0\\ 2 - 2\sin^2 x - 5\sin x - 4 &= 0\\ -2\sin^2 x - 5\sin x - 2 &= 0\\ 2\sin^2 x + 5\sin x + 2 &= 0. \end{aligned} \end{equation*}

Zavedeme substituci $y = \sin x$. Protože oborem hodnot funkce sinus je interval $\langle -1, 1\rangle$, pro novou neznámou $y$ platí podmínka $-1\leq y\leq 1$. Dostáváme kvadratickou rovnici

\begin{equation*} 2y^2 + 5y + 2 = 0, \end{equation*}

kterou řešíme na intervalu $\langle -1, 1\rangle$. Vypočítáme diskriminant

\begin{equation*} D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \end{equation*}

a určíme kořeny

\begin{equation*} y_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4}, \end{equation*}

tedy $y_1 = -\frac{1}{2}$ a $y_2 = -2$. Nyní se vrátíme k původní neznámé $x$. Protože $-2 \notin \langle -1, 1 \rangle$, hodnota $-2$ nevyhovuje podmínce a tato větev nemá žádné řešení. Druhou rovnici $\sin(x)=y$ řešíme tedy pouze pro hodnotu $y_1 = -\frac{1}{2}$. Dostáváme tak rovnost $\sin x = -\frac{1}{2}$, která platí právě když $x=\frac{7\pi}{6} + 2k\pi$, kde $k\in\mathbb Z$, nebo $x=\frac{11\pi}{6} + 2k\pi$, kde $k\in\mathbb Z$. Množina všech řešení v oboru reálných čísel $\mathbb{R}$ proto je

\begin{equation*} S = \left\{ \frac{7\pi}{6} + 2k\pi: k\in\mathbb Z \right\}\cup \left\{\frac{11\pi}{6} + 2k\pi: k\in\mathbb Z\right\}. \end{equation*}

$\square$

Anotace

Obsah