5.1 Algebraické rovnice a nerovnice

Rovnice $f(x)=0$ se nazývá algebraická nebo polynomiální, pokud $f$ je polynomiální funkce. Řešení takovéto rovnice odpovídá hledání kořenů příslušného polynomu. Každá algebraická rovnice má alespoň jedno řešení v oboru komplexních čísel. My se ale soustředíme pouze na hledání reálných kořenů. Ty nemusí vždy existovat.Pokud je funkce $f$ polynomem stupně nejvýše $1$, potom mluvíme o lineární rovnici. Je to tedy rovnice tvaru

\begin{equation*} ax+b=0, \end{equation*}

kde $a,b\in\R$ jsou reálné parametry a $x\in \R$ je proměnná. Definičním oborem funkce $f(x)=ax+b$ je $\R$ a jejím grafem je přímka; při řešení rovnice hledáme průsečíky této přímky s osou $x$. V závislosti na hodnotách parametrů $a,b$, může mít lineární rovnice:

žádné řešení – pokud $a=0$ a $b\neq 0$, potom je rovnicí tvrzení $b=0$, které je nepravdivé pro každé $x\in\R$ (grafem funkce $f$ je přímka $y=b$ rovnoběžná s osou $x$),
právě jedno řešení – pokud $a\neq 0$, potom rovnost splňuje $x=-\frac{b}{a}$ (grafem funkce $f$ je přímka různoběžná s osou $x$),
nekonečně mnoho řešení – pokud $a=0=b$, potom jsou řešeními rovnice všechna $x\in \R$ (grafem funkce $f$ je osa $x$).

Rovnice, ve které je funkce $f$ polynom stupně $2$, se nazývá kvadratická rovnice. Jedná se tedy o rovnici typu

\begin{equation*} ax^2+bx+c=0, \end{equation*}

přičemž $a,b,c\in\R$, kde $a\neq 0$, jsou reálné parametry a $x\in \R$ je proměnná. V tomto případě je definičním oborem funkce $f(x)=ax^2+bx+c$ opět $\R$ a jejím grafem je parabola. Kvadratická rovnice může mít:

žádné řešení – pokud parabola neprotíná osu $x$,
právě jedno řešení – pokud se parabola dotýká osy $x$ svým vrcholem,
dvě různá řešení – pokud parabola protíná osu $x$.

Řešení najdeme buď rozkladem polynomu na kořenové činitele nebo výpočtem pomocí vzorce pro řešení $x_\pm$:

\begin{equation*} x_\pm=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \end{equation*}

Pokud je hodnota pod odmocninou $D=b^2-4ac$ (zvaná diskriminant) záporná, rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel, tj. kořeny polynomu jsou komplexní čísla. Pokud je diskriminant roven 0, rovnice má právě jedno reálné řešení. Kladný diskriminant odpovídá existenci dvou různých reálných řešení.

Při řešení rovnice s polynomem vyššího stupně, tedy s polynomem $f$ stupně vyššího než $2$, se snažíme tuto úlohu převést na úlohu řešení rovnic(e) nižšího stupně (konečně až lineárních nebo kvadratických). Můžeme toho docílit substitucí za opakující se výraz, nebo rozkladem polynomu $f$ na součin činitelů nižšího stupně. Na tento součin potom uplatníme fakt, že je roven nule právě tehdy, když je roven nule alespoň jeden z jeho činitelů. K rozkladu využíváme vytýkání, známé algebraické vzorce, hledání celočíselných kořenů pomocí dělitelů absolutního členu (či jejich uhodnutí) a následné dělení polynomu $f$ příslušným kořenovým činitelem.

Příklad 5.1

V oboru reálných čísel řešte rovnici:

\begin{equation*} x^4-2x^3-7x^2+8x+12=0. \end{equation*}

Levou stranu rovnice nejdřív upravíme do tvaru, ve kterém vynikne opakující se výraz:

\begin{equation*} x^4-2x^3-7x^2+8x+12=x^4-2x^3+x^2-8x^2+8x+12=(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12 \end{equation*}

Následně zavedeme substituci

\begin{equation*} y = x^2 - x \end{equation*}

a jejím dosazením do původní rovnice získáme kvadratickou rovnici pro proměnnou $y$:

\begin{equation*} y^2 - 8y + 12 = 0. \end{equation*}

Tuto rovnici vyřešíme například rozkladem na součin kořenových činitelů

\begin{equation*} (y - 2)(y - 6) = 0, \end{equation*}

ze kterého dostaneme dvě reálná řešení $y_1=2$ a $y_2=6$. Nyní se zpětnou substitucí vrátíme k původní proměnné $x$ a vyřešíme dvě samostatné kvadratické rovnice:

\begin{equation*} \begin{aligned} x^2 - x &= 2 \\ x^2 - x - 2 &= 0 \\ (x - 2)(x + 1) &= 0 \end{aligned} \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{aligned} x^2 - x &= 6 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x - 3)(x + 2) &= 0. \end{aligned} \end{equation*}

Množina řešení je tedy $S=\{-2, -1, 2, 3\}$.

$\square$

Příklad 5.2

V oboru reálných čísel řešte rovnici:

\begin{equation*} x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \end{equation*}

Jedná se o polynom stupně 3. Pokusíme se najít celočíslený kořen mezi děliteli absolutního členu, kterým je číslo $-6$. Množina všech dělitelů je $\{-6, -3, -2, - 1, 1, 2, 3, 6\}$. Přímým dosazením zjistíme, že $1$ je kořenem zadaného polynomu³². Původní rovnici tedy můžeme zapsat v součinovém tvaru:

\begin{equation*} (x - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0. \end{equation*}

Dalším rozkladem kvadratického členu (nebo nalezením jeho kořenů) získáme zápis původní rovnice ve tvaru

\begin{equation*} (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0. \end{equation*}

Součin je roven nule právě tehdy, když je roven nule alespoň jeden z jeho činitelů. Odtud získáváme množinu řešení $S=\{1,2,3\}$.

$\square$

Při řešení polynomiálních nerovnic používáme rozklad na součin a následně určujeme znaménko jednotlivých činitelů na intervalech určených kořeny. Například, když pozměníme zadání Příkladu 5.2 na nerovnici

\begin{equation*} x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \geq 0, \end{equation*}

potom rozkladem polynomu na levé straně nabude nerovnice tvar

\begin{equation*} (x - 1)(x - 2)(x - 3) \geq 0. \end{equation*}

Nulové body (tedy kořeny odpovídající rovnice) jsou $1, 2, 3$. Ty rozdělují reálnou osu na intervaly

\begin{equation*} (-\infty,1), (1,2), (2,3) \textup{ a }(3,\infty), \end{equation*}

ve kterých polynom nemění své znaménko. Na intervalu $(-\infty,1)$ jsou všechny tři členy záporné, proto je jejich součin (tedy původní polynom) také záporný. Na intervalu $(1,2)$ je první člen kladný, zatímco druhý a třetí je záporný, tedy polynom je kladný. Na intervalu $(2,3)$ jsou první dva členy kladné a třetí je záporný, takže součin je záporný. No a nakonec na intervalu $(3,\infty)$ jsou všechny včechny členy, a tedy i původní polynom, kladné. Protože nerovnice je neostrá, zahrneme do řešení i nulové body. Množinou řešení tedy je

\begin{equation*} S=\langle 1,2\rangle \cup \langle 3,\infty). \end{equation*}

Anotace

Obsah