S částečnými součty posloupností, tedy se součtem například prvních $n$ členů, se v matematice a v oblastech matematiku využívajících setkáváme poměrně často. V informatice se tak stává například při popisu složitosti algoritmů: například počítáme-li počet operací v cyklu, dostaneme se k součtu prvních $n$ členů nějaké posloupnosti naprosto přirozeně. Představme si, že máme nějaký program, který obsahuje cyklus délky $n$⁴⁵ a v prvním běhu provádí 1 operaci, při druhém 4 operace, při třetím 7 operací a tak dále. Celkově nám vznikne posloupnost

Jak už jsme si řekli, třítečkový operátor \ldots příliš spoléhá na čtenáře a čtenářky, což se nemusí vyplatit.⁴⁶ Takže algoritmus podrobíme analýze a zjistíme, že v  $i$ tém běhu cyklu provádí $3i - 2$ operací. Jak ale zapsat počet operací v celém cyklu, tedy při všech $n$ bězích dohromady? Můžeme opět použít třítečkový operátor

ve kterém ale na bedra tří teček nakládáme opravdu mnoho. Chtěli bychom se tří teček zbavit a napsat součet explicitně⁴⁷. K tomu můžeme využít faktu, že máme explicitně popsán každý člen posloupnosti v závislosti na jeho pořadí, přesněji víme, že $i$ tý člen posloupnosti je dán vzorcem $3i - 2$. Toho můžeme využít a zavést nový zápis reprezentující součet, tak zvanou sumu, která se zapisuje pomocí řeckého písmena $\Sigma$ a používá se takto:

Zápis $i = 1$ pod značkou $\Sigma$ nám říká dvě věci: jednak nám zavádí proměnnou $i$, která se (obvykle) vyskytuje uvnitř sumy a slouží k zápisu $i$ tého členu sčítané posloupnosti, v našem případě $3i - 2$ a jednak nám říká, na jaké hodnotě s touto proměnnou začínáme, v tomto případě na hodnotě 1. Této proměnné se říká sumační index, sčítací index, index sumy a podobně. Zde je to $i$, ale název proměnné není důležitý (obvyklé volby jsou také $j$, $k$ a nebo i  $n$, když je horní mez sumy jiná proměnná, například $m$ nebo $N$).V rámci sumy se sčítací index vždy od této hodnoty zvyšuje o jedničku, předpokládá se tedy, že jde o celé číslo. Toto zvětšování se zastaví na hodnotě, kterou určuje číslo nad sumou, v našem případě proměnná $n$, která by měla být opět celým číslem. Za výrazem

je tedy vlastně proces, kdy postupně dosazujeme za proměnnou $i$ čísla 1, 2, 3, \ldots, $n$ do výrazu $3i - 2$ a všechny získané hodnoty sčítáme:

V tomto případě není součtem konkrétní číslo ale výraz, protože součet nutně závisí na hodnotě $n$.

S pomocí sumy ale můžeme zapsat klidně i součet konkrétního počtu členů, například součet prvních pěti členů naší posloupnosti:

V některých případech umíme explicitně sečíst i sumu, jejíž horní mez je proměnná. O tom jsme si vlastně psali v předchozích kapitolách, kdy jsme si ukázali vzorce pro součet prvních $n$ členů aritmetické a geometrické posloupnosti. S pomocí sumy můžeme například zapsat součet prvních $n$ členů aritmetické posloupnosti s diferencí $1$ a prvním členem $1$ (viz Sekce 9.3.1):

V tomto tvaru obvykle najdete tento vzorec v učebnicích (alespoň těch vysokoškolských).

I když jsme se o třítečkovém operátoru vyjadřovali poněkud pohrdlivě, je stále dobré za značkou sumy vidět obyčejný součet čísel, který symbolizuje. To nám umožní se sumou pracovat ve vzorcích a využít tak běžné algebraické operace, které známe z aritmetiky, jako je vytýkání, přeskládávání členů (díky komutativitě a asociativitě sčítání) a podobně. Chceme-li například sečíst sumu

můžeme si za ní představit obyčejný součet

ze kterého můžeme vytknout číslo 3 a získat tak

S pomocí značky sumy toto můžeme zapsat elegantněji a s využitím známého vzorce pro součet prvních $n$ členů aritmetické posloupnosti $1,2,3,\ldots, n$ i sumu sečíst

Podobně můžeme pracovat i s naší původní sumou

a sčítance přeskládat tak, že odčítání $2$ přesuneme nakonec a věnujeme mu vlastní závorky

Bez třítečkového operátoru můžeme psát

U sumy $\sum_{i=1}^n 2$ se zastavme, protože je „nějaká divná“: Kde je sčítací index $i$? Ten v sumě nenajdeme, ale to ničemu zásadně nevadí. Jde prostě o sumu prvních $n$ členů konstantní posloupnosti, jejíž $i$ tý člen je vždy roven $2$, tedy posloupnosti $(a_i)_{i=1}^\infty$, pro kterou $a_i = 2$ pro všechna $i$. Tu jde sečíst opravdu snadno, protože součet $n$ dvojek je prostě $2n$:

Nyní už můžeme sečíst prvních $n$ členů naší původní posloupnosti a dostaneme

K vyjádření součtu jsme potřebovali pouze vzorec pro součet prvních $n$ členů aritmetické posloupnosti $1,2,3,\ldots, n$ a základní vlastnosti sčítání.Pro úplnost uveďme, že u geometrické posloupnosti $(a_1q^{i-1})_{i=1}^\infty$ můžeme přepsat tvrzení věty 9.3 do tvaru sumy

9.5.1 Cyklus, produkt a řady

Na závěr této části si uvedeme tři zajímavé souvislosti vázající se k sumám.Při zavádění sumy jsme si pomohli s příkladem výpočtu složitosti algoritmu, který obsahuje cyklus. Souvislost sumy a cyklu je skutečně přirozená, protože cyklus v programu a značení sumy v podstatě reprezentuje ten samý proces: Cyklus, alespoň ten který v různých programovacích jazycích obsahuje slovo „for“, také obvykle obsahuje proměnnou, která se zvyšuje od nějaké dolní meze po horní a něco provádí. V našem případě provádí sčítání výrazů závislých na dané proměnné, ale může to být i jiná operace nejen aritmetická.

S využitím jazyka Python bychom mohli sumu naší posloupnosti

zapsat takto (v Pythonu výraz range(1, n+1) generuje posloupnost čísel od 1 do n včetně):

soucet = 0
for i in range(1, n+1):
  soucet = soucet + 3*i - 2

Suma $\Sigma$, tedy značka pro součet nějaké posloupnosti, má méně známého „příbuzného“, kterým je značka $\Pi$ pro součin členů posloupnosti. Funguje ale v zásadě stejně, například pro součin prvních $n$ členů posloupnosti $1,2,3, \ldots, n$ platí

což je vlastně starý dobrý faktoriál $n!$. Pro naši posloupnost by značka

vyjadřovala součin prvních $n$ členů posloupnosti $a_i = 3i - 2$, tedy

Poslední zajímavost, kterou si uvedeme, je pojem „řada“.V matematice se tímto pojmem označuje součet nekonečné posloupnosti, tedy například

U této aritmetické řady je součet zjevně nekonečný v tom smyslu, že ať si svolíme libovolně velké číslo, vždy se postupným sčítáním členů dostaneme k součtu, který je větší než toto číslo. Poněkud překvapivě se ale může stát, že součet nekonečně mnoha kladných čísel není nekonečno. Přesné a rigorózní zavedení součtu nekonečně mnoha čísel vyžaduje osedlání pojmu limita, což je veskrze vysokoškolský úkol, který se necháme až do předmětu matematická analýza. Zde se pro představu zamyslíme nad součtem geometrické řady s koeficientem $q = \frac{1}{2}$ a $a_1 = 1$. Čemu by se tak mohla rovnat řada

Můžeme si pomoci obrázkem: Představme si dva čtverce o straně 1, které mají dohromady plochu 2. Při sčítání členů výše uvedené posloupnosti si představme, že vždy z těchto dvou členů „ukousneme“ kus o obsahu odpovídajícímu danému členu posloupnosti. První člen je 1, takže ukrojíme čtverec o obsahu 1, druhý člen je $\frac{1}{2}$, takže ukrojíme obdélník o obsahu $\frac{1}{2}$, třetí člen je $\frac{1}{4}$, takže ukrojíme obdélník o obsahu $\frac{1}{4}$ a tak dále. Vlastně si můžeme představit, že pokaždé ukusujeme polovinu z toho, co nám zbylo. Je tedy jasné, že nikdy se nedostaneme k tomu, že bychom ukousli vše, vždy nám něco zbude. Zároveň je ale jasné, že kousek, který nám zbývá, je stále menší a menší a že ať si zvolíme sebemenší číslo, po dostatečném počtu ukousnutí nám zbude kousek o obsahu menším než toto číslo. Tato situace, kde se ukousnutá plocha libovolně blízko přiblíží k ploše 2, ale nikdy ji nepřekročí, je přesně to, co matematika nazývá limitou. Tuto skutečnost budeme značit jako

a říkat, že řada konverguje k číslu 2.

Obecně lze ukázat, že geometrická řada s kvocientem $q$ konverguje právě tehdy, když $|q| < 1$ a v takovém případě se její součet rovná